CHAPITRE VII

lÎQUAtlON DE L^HTPERBOLE RAPPORTEE A SON CENTRE ET A SES AXES. — RAPPORT DES CARRES DES ORDONNEES PERPENDICULAIRES A l'aXE TRANSYSRSB.

168. L'équation du second degré (n^ 143) peut être ramenée^ dans le cas de l'hyperbole , à la forme :

où â; et y désignent des coordonnées rectangulaires. La quantité — 4MN étant ici positive ^ on voit que M et N sont de signes cpntiraires. Si £[=•0, Téquation proposée^ représente le système de deux droites passant pa* Torigine et qui constitue une variété de l'hyperbole, ainsi que nous en avons &it la remarque. Ce cas étant mis de côté^ on peut toujours supposer que H soit de même signe que le coefficient de x"^, et^ par suite^ de signe contraire au coefficient de y*; car on peut, si on le juge à propos^ changer les axes de cordonnées l'un dans Pautré. Pour avoir les points où la courbe coupe l'axe des Xy il faut faire y =0 et il vient:

224 géométrie analytique a deux dimensions.

Nous i^ignerons par a la valeur de W —, et l'on aura N^-^.

Si l'on cherchait de même les points d'intersection avec Taxe des y ; il faudrait faire â?=:0 , et l'on trouverait :

mais cette valeur est imaginaire , et il n'y a pas de point d'in-

tersection. Nous désignerons par 6 y "" ^ ^^ valeur de W jj>

H en sorte que l'on aura M = — rj.

En remplaçant M et N par les valeurs écrites plus haut, réquation de la conrbe'devient : -

fi' ^' ou

C'est sous l'une ou l^autre de ces deux formes que nous la considérerons désormais. On en tire :

La valeur de y n'est réelle que si x est compris ejitre — ^ et — a, ou entre -fa et +00. Lorsque a: croît de + « à+<^ ou décroit de — a à — 00, la valeur absolue de y croît de zéro à l'infini. Si donc on prend sur l'axe des x (fig. 102) 0A=0A'==a, l'hyperbole sera formée de quatre branches infinies^ dont deux partent de  et les autres de A!, comme

'inique la figure. Il est évident qiie Torigine est le centre, 3t que les axes de coordonnées sont les axes eux-mêmes de la courbe. L'équation (i) ou (2) représente donc une hyperbole rapportée à son centre et à ses axes. L'axe qui rencontre

la courbe est dit axe transverse, l'autre est appelé .axe non transverse. La longueur AA'=^a est la longueur de — l'axe transverse : si, en outre , on prend, sur l'àxe des y, 0B=0B'=6, la ligne BB'=:26 est dite la longueur de Taxe non transverse. Les extrémifig. 102. tés A et Â' de l'axe transverse

sont, n® 110, les sommets de l'hyperbole.

Lorsque les axes 2a et 26 sont égaux entre eux , l'hyperbole est dite équilatêre.