De réquation (3) on tire

or, pour un point M quelconque de l'hyperbole^ on a (fig. 102)

y=MP, x+a=±:AV, a?— a=±:AP,

donc:

MP

ATxAP^a*'

d'où il résulte que : le rapport du carré d^une ordonnée, pet'^ pendiculaire à l'axe transverse, au produit des segments cor respondantSj formés sur .cet axe, est une quantité constante

t» GÉOMÉTRIE ANALYTtQUS à DEUX DIMENSIONS.

En d'autres termes : les carrés da ordonnées,

lairss à Vax0 traniverse^ sont entre eux eomm$ ks produiu

deà segments correspondants formée sur cet ooms»

On voit que cet énoncé n'est autre obose que la traduetioQ géoniétrique de Téquation de l'hyperbole.

170. Soit r la distance OM (fig. 102) du centre de la courbe au point M dont les coordonnée» &ont â? et y^ on aura :

r^=zx*+y% etj par suite j

d'où

cela montre que la distance du centre à un points mobile sur l'hyperbole , est minimum lorsque ce point est plaoé à l'ao des sommets , et que cette distance croît iodaâninMtit à mesure que le point s'éloigne du sommet

17%. On nomme points intérieurs de l'hyperbole les points, situés dans l'espace compris entre les branches infinies qui se réunissent à un même sommet; et points extérieiu*s les points, non compris dans cet espace et non situés sur la courbe.

Il est bon de remarquer que^ pour tout point extérieur à l'hyperbole

on a:

et , pour tout point intérieur :

DB L'HYPKBBOLfi, Ht

Gonridérom d'tbord h eu d'un point M esLténrar. Si !• va* leur absolue de son abscisse est supérieure à a» il existera un point M' de la courbe ayant même abscisse que le point M et une ordonnée moindie en valeur absolue} ii^ au contraire, la valeur absolue de Tabscisse du point M est moindre que a, û eiistera un point M'' de la courbe ayant même ordonnée que le point M et une abscisaç plus grande en valeur absolue) or^ pour chaque point de la courbe^ a*y'— bW'-\'a*V est nul; donc cette quantité est positive pour le point M. Un raisonnement aenUablo prouve la deuxième partie du théoième énoncé.

FOTEAS ST directrices; TANGENTS ET NORKA£t; DIAMàTRES; DlAlâ- TRES CONJUGUIÎS Et CORSil SUPPlilIENf AIRES. CE Qu'ON NOIOIB lONGUEUa d'v» UAHàTRB QUI WS RENCONTRE FAS L'siFERBOiB, -<- LES PROPRiiTÉS DE CES POINTS ET DE CES LIGNES SONT ANALOGUES DANS l'hyperbole ET DANS L'iLUPSI .

172. L'équation de l'hyperbole, rapportée à ses êmm^ savoir :

se déduit de celle de Tellipse , par le simple cHangement de 6' en — fr* ; aussi les raisonnements^ par lesquels nous avons établi les diverses propriétés de Tellipse^ peuvent-ils être employés, sauf de légères modificationa^ pour démontra les propriétés analogues de lliyperbol

Fat&Têe 175. L'é-quation de la courbe^ rapportée & ses axesf, était

soient a et 6 les coordonnées d'un foyer et S la distance de ce foyer au point (Xj y) de la courbe, on aura :

d'où, on désignant par lx'\-my+n la fonction rationnelle qui exprime 8 ,

(x—ay + (y—^Y—{lx + my+n)*=0.

On voit, comme au n^ id2> qu'on doit avoir /=0 ou m=0. Si Ton suppose m=0, 3 sera une fonction linéaire de X seul ', l'équation (2) donne alors :

8»=aî*— 2our + a«+y«— 26j/ + 6« ; en remplaçant y par sa valeur tirée de (1) , savoir :

ti = - Jx* — a*'.

il vient :

8«=:a?«— 2aa?+a»+^(ar»— a*)— 26-v/^'— a»+6*;

puisque 8 doit être rationnelle, il faut à fortiori que 8* le soit, ce qui exige que Ton ait 6=0, c'est-à-dire que les foyers soient situés sur l'axe des a;. L'expression de 8* devient alors'

8« == rJÇl- a;*— 2oaî-f-a«— 6' ; a

pour que le second membre soit un carré parfait, il faut et il suffit que l'on ait :

d'où Ton tire :

•a«=a« + 6« et a===div/?+F.

Cette valeur de œ est toujours réelle; ce qui montre qu'il existe toujours deux foyers, situés sur l'axe transverse à un6

distance du centre égale à sja^ r|- 6*.

En supposant 2=0, on trouverait, par un calcul identique au précédent ,

a=0 et 6=div^— a'— 6»;

cette valeur de 6 est imaginaire; par conséquent, l'hyperbole n'a que les deux foyers, situés sur l'axe transverse à une

distance du centre égale à \ja^ + 6* , et dont on a précédemment démontré l'existence*

Si Ton élève sur l'axe transverse, au sommet A, la perpendiculaire ÂL égale à la moitié de l'axe non transverse, la distance OL sera égale à v/a* -f 6' et la circonférence, décrite du centre 0 avec un rayon égal à OL, rencontrera l'àxe transverse en deux points F et F' qui seront les foyers de l'hyperbole. La longueur 2c est désignée sous le nom de dis-

tance focale ; le rapport - de la distance focale à l'axe transverse est V excentricité de l'hyperbole*

174. Remplaçant successivement a par +c et par — c dans Texpression de o* et désignant par F et F' les foyers de rhyperbole, on aura (fig. i03):

m GÉOMÉTRIE ANALfnQPK A DWX DIMENSIONS.

d'où Ton tire ;

tes distancias fU, P%, qu^on nomme rayons vecteurs, sont des quantités positives; d^ailleiirs, lorsque le point M est situé sur la branche placée du c6té des absdsses positiyes;

le terme] — est positif et plus grand que a ^ on ne doit doao

prendre alors que les signes supérieurs; de sorte qu'on a, pour tous les points de cette branche ,

ex ex

Lorsque le point M est situé iiir Pau^ braiidhe» lé tMM — est négatif I et sa valeur absolue est plus grande que a;

on ne doit donc prendra alors que les signes inftrieurs) di sorte qu'on e, pour tous les points de oette seconde branche,

FMjjI'^" '"hé* FM''^"* ■■ *^e»

En fiûsant la di£férence^ on trouve^ dans le premier cas,

FM^FM»9a> et^ daâs le Secoîid^

FM— FTUsSa;

ce qui montre que : la différence dêi rayons vèetêUits, menés des foyers d un point quelconque de Vhypirbole, est constante et égale à la longueur de Vaxe trânsverse^

DB L'HYPERBOLE

ni

11 est bon de remarquer que Thyperbole sépare les poiiM du plan y dont la différence des rayons vecteurs est inférieure

à la longueur de Paxe

transverse^ de ceux pour

lesquels cette différence

est plus grande que Vdxe

iramverM^ en d'autres

termes ; ri F et f êoni

les foyers éPunê hyperbole

dont l'aœe transverse est^

(flg. 103}^ on a, pour

flg. los. tout point P extérieur,

FP— FP<îfl,- et, pour tout point F intérieur, FF— FF>8fl.

En effets dans le premier cas^ si Ton joint le point F' au point

M où FP rencontre la courbe^ le triangle FPM donnera !

FF<FM+PMj

retranchant FP de part et d'autre, puis observant que FM— FM=2a, il viendra :

PT— FP<2aj

dans le second cas, le triangle FFM, donnera :