Soit
ay— 6V + a»6»=0,
réquâtion d'une hyperbole rapportée à ses axes. Les dérivées du premier membre, par rapport à a; et par rapport à j|[, jsont — 26'a; et 2a^î/j par suite, le coefficient angulaire de la tangente au pcnnt (œ', y') est (n<> 417)
Wx' ' 6V , , .' , , , a«y' ^, , ,
^TTi OU -T-7 , et celui de la normale est — z^. ; d'après cela, 2a Y a*y b*op '^
l'équation d^ la tangente sera :
celle de la normale sera :
La valeur absolue du coefficient angulaire -^-r décroît
^ ay
de llnfini à - lorsque le point {af, y) , placé d'abord à l'un a
des sommets y s'en éloigne indéfiniment^ en effet, si Ton remplace y* par sa valetu* -s/x'^ — a* tirée de Téquation
on trouve :
±ia
PI lHYPEaiBOLG.
Uk
pour â/ =sQo^ cette quantité devient égale à ±: - ; la tangente 18 confond alors avec Pane des deux droites
qui sont précisément^ connue on le verra plus loin^ les asymptotes de l'hyperbole.
En ayant égard à Téquation
r équation de la tangente » trouvée précédemment^ peut s'écrire:
La tmgmte din%i$ m dmœ pariieê igala Fmgh de» royoni vecteurs menée du foyete au point de contaeU
178. Soient MT (fig. 105) la tangente en U[x',^) à Thyperbole :
rappcttiée à ses axesi T le point oii cette tangente rencontre
y ^ l'axe transverse* En fai-
sant ^a^ + b*sxc, le rayon vecteur MF a pour équation:
le pdnt T a pour ordoo** née zéro et pour abscisse -7^
et ron trouve que sa distance à MF est
aj/ . p™.^^
^' {tMp^
ou simplement -^ , puisque Ton a a = v^y"+ (a/ — c)*.
L'équation du rayon vecteur MF' se déduit de celle de MF en changeant c en — c; d'où il suit que la distance du point
T à MF' a aussi pour valeur -^. On voit, par ce qui pré-
cède, que le point T est également distant des deux rayons vecteurs; il est clair que ce point est situé dans l'angle des rayons vecteurs , donc il appartient à la droite qui- divise cet angle en deux parties égales; donc la tangente divise en deux parties égales l'angle des rayons vecteurs menés des foyers au ppint de contact; et il en résulte que la normale divise en deux parties égales V angle formé par Ttin de ces rayons avec le prolongement de Vautre,
Le théorème que nous venons d'établir donne un moyen de mener une tangente à l'hyperbole! l' par un point pris sur la courbe; 2* par un point extérieur; 3^ parallèlement à une drçite donnée.
179. Supposons d'abord qu'il s'agisse de mener la tangente en un point M d'une hyperbole (fig. 106). Tirons les rayons vecteurs MF et MF' ; prenons sur le plus grand MF et à partir du point M une longueur MK:=MF, th'ons KF et abaissons du point M la perpendiculaire MIT sur KF , cette perpendiculaire sera la tangente demandée.
En effet, le triangle MKF étant isocèle, la perpendiculaire abaissée du sommet sur la base partage l'angle KMF en deux parties égales, on a donc KMT = TMF; donc MT est tangente.
Remarque. Si Ton joint le centre 0 milieu de FT' au point I
qui est le milieu de KF, la droite 01 sera parallèle à F'K et égale à la moitié de FK, c'est-à-dire à a. Il résulte de là que la distance du centre de V hyperbole aux pieds des perpendicukires, abaissées d'un foyer sur les tangentes^ est constante et égale au demi-axe transverse; ou, en d^ autres termes y le lieu géométrique des pieds des perpendiculaires^ abaissées d,es foyers S une hyperbole sur les tangentes , est la circonférence décrite sur Vaœe transverse comme diamètre.
