lyoposoDS-nous maintenant de mener une tangente
à rhyperbole par un point H extérieur à la courbe (fig. 106).
Supposons pour un moment le problème résolu ; soit HMT la tangente demandée et M le point de contact. Tirons les rayons vecteurs MF et MF' et prenons sur le plus grand MF', à partir du point M, MK=MF^ iig. 106. tirons ensuite KF , HK et HF.
La tangente.HMT, divisant en deux parties égales Tangle au sommet du triangle isocèle KMF, cette ligne sera perpendiculaire à KF et passera par le milieu I de KF ; on aura , par suite, HK = HF; d'ailleurs F'K = 2a; donc le point K peut être détemainé par Tintersection de deux circonférences, l'une décrite du foyer F comme centre avec le rayon 2a, l'autre décrite du point donné H comme centre avec le rayon HF. Le point K étant connu , on le joindra au foyer F, et l'on abaissera du point H la perpendiculaire Hl.sur KF; cette perpendiculaire sera la tangente demandée, et le point M, où elle rencontre F'K prolongée, sera le point de contact. En effet, on a, par construction, HK=HF; donc HI est perp^idiculaire sur le oiilieu de KF j donc MK = MF et par
m GÉOMÉTRIE ANALTnQUB A DEUX DIMENSIOICS.
conséquent MP— MF =3la^ ce qui prouve déjà que le point M est sur l'hyperbole. En second Iku^ Tangie FMI = IMF; donc HM est tangente.
Nous avons vu que le point K est déterminé {lar l^ntersection de deux circonférences ; or deux drconférraces se rencontrent généralement en deux points^ il y a donc deux solutions et^ par le point donné T^ on peut mener deux tangentes à rhyperbole ; il est fiidle , en effiêi^ de démontrer que les deux drconférences, décrites des points P et H comme oentres avec des rayons égaux respectivement à 2a et à HF^ se rencontrent toujours en deux points^ si, comme nous le supposons^ le point H est extérieur à lliyperbole. Joigmms FH; le point H étant extérieur à rhypert)ole ^ supposons FH>FH, on a (n» 474) FH— FH<2tf, d'où Ton tire FH<9ii-f FH; on a d'ailleurs , dans le triangle HFF, FF<FH+FHj donc on aura toujours 2a<FH+Fa Cda prouve que nos deux dicônférences se rencontreôt toujours en deux peints, car la distance des centres est moindre que la somme de^ rayons^ et chaque rayon est moindre que la somme de Tantre rayon et de la distance des centras.
ei le point H était sur Iliyperbde, on aurait FH-^PH:=:fs; ou FHssâa+FH; alors la distance des centres sermt égale à la somme des rayons, et les deux drconférences se too^ cberaient extérieurement. Dans ce cas , il n'y a plus qu'une seule tangente et ïon retombe sur la construction donnée préoéd^nment.
Si le point H était intérieur à Fhyperbole, on aurait FH— FH>2», ou FH>«a-f FH, alon la dstance des centres serait plus grande que la somme des rayons ; les deux dreonférences seraient extérieures Kune i fautm, el il n'y aurait plus de tang^tte.
18i« La propriété démontrée an n* 178 Ibumif encorson
moyen très-simple de mener à Thyperbole une tangente parallèle à une droite donnée. Soient F et F les foyers de Thy-
perbole (fig. 107) et CD la droite à laquelle la tangente doit être parallèle.
Si le problème était résolu^ - et que IT fût la tangente demandée , et M le point de contact, en joignant F'M et prenant sur cette direction FK=2ii, la ligne FK fig. 107. serait perpendiculaire sur
IT et par suite sur CD. Il résulte de là que le point K peut être déterminé par l'intersection de la perpendiculaire, abaissée de F sur CD^ avec la circonférence de rayon 3a et décrite du point F' comme centre. Le point K étant oonnu^ on le joindra au point F, et par le milieu I de FK on mènera IT parallèle à GD^ cette parallèle sera la tangente demandée et le point M , où elle rencontrera F'K prolongée , sera le point de contact. Kn effet joignons MF ; la droite IT étant perpendiculaire sur le milieu de KF par construction, oa a KM = MF, donc F'M — FM = 2a; ce qui prouve déjà que le point M est sur l'hyperbole. En second lieu, Tangle FMI = IMF; donc IT est tangente.
Le point K est déterminé par l'intersection d'une droite et d'une circonférence, lesquels se coupent généralement en deux points; il est facile de voir que si la droite CD fait avec Taxe transverse un angle jrfus grand que celui dont la
tangente est -j* * oa un angle moindre que œlui demi la tan*
gente est — , la droite et la circonférence se rencontrent en a
deux points et on peut mener deux tangentes parallèles à la droite donnée; si la droite CD -fait avec Taxe transverse un
angle ayant pour tangente dz -, la droite CD touche la cir-
conférence et on ne peut mener qu^une seule tangente à l'hyperbole; enfin si Tangle^ que la droite CD fait avec Tne
transverse , est moindre que Fangle dont la tangente est -
ou plus grand que celui dont la tangente 4M; , la droite
CD et la circonférence ne se rencontrent pas et on ne peut menei^.#iipune tangente.
Remarque. La construction de la tangente, dan& les trois cas que nous venons d'examiner, ne suppose pas que la courbe soit tracée ; il sufBt de connaître les foyers et la longueur de l'axe transverse.
Équation de la tangente menée parallèlement à une
droite donnée.
