Les diamètres de l'hyperbole

(1) aY—b*x*=—a*b*,

sont dits transverses ou non transverses y suivant qu'ils rencontrent ou ne rencontrent pas Thyperbole. Soit

(2) y=mxy

l'équation d'un diamètre; on trouve^ pour les coordonnées des points communs avec l'hyperbole.

6« Ces valeurs sont réelles si m' est moindre que -r, c'est-à-

dire, si m est compris entre et + -. Le diamètre est

donc transverse dans ce cas, il est non transverse dans le cas contraire. Supposons qu'il s'agisse d'un diamètre non transverse ^ et changeons le signe de la quantité qui est sous la radical dans les valeurs de x et de y, il viendra : ^

(4)^ X = ±\/ "^--z -, y=±:i»l/-r— 5 rr.

Les deux points représentés par ces équations sont situés s\ft le diamètre que nous considérons et à égale distance du centre : on les nomme les extrémités du diamètre non transverse, bien qu'ils ne soient pas situés sur la courbe, et leur distance est dite la longueur du diamètre.

Si Ton élève au carré les équations (3) ou (4^ et qu'on ajoute ensuite, on aura le carré de la demi-longueur d'un diamètre transverse ou non transverse, dont le coefficient angulaire est m. On trouve ainsi, pour le carré d'un demi -diamètre

transvaM (1 +m") rr ;— r, et pour le carré d'un demi-

diamètre non transverse (1 4-in*) -r— r — rr.

On peut trouver aisément la ligne formée par les extrémités des diamètres non transverses. L'équation de oette ligne s'obtiendra évidemment en éliminant m entre les équa* tiens (4); or les équations (4) se déduisent des équations (3), en changeant o* en — o* et 6' en —6* ; d'ailleurs l'élimination de m entre celles-ci conduirait à la proposée (1] ; donc

réquation de la ligne, que nous cherchons^ peut se déduire inunédiatement de Téquation (l]j en Getisant Iq simple changement de a' en — o* et de b* en — 6*; on obtient ainsi :

(5) aY^bW = a*h\

Cette équation représente une hype]4)ole. Chacune des hypwboles (1) et (5) a pour axe transverse le noii transverse de l'autre; on peut même ajouter que tous les diamètres non transverses de Tune spnt les diamètres transverses de Tautre. Ces deux hyperboles sont dites conjuguéei.

Remarque. Deux diamètres conjugués de l'hyperbole sont toujours, l'un transverse et l'autre non transverse; car la rela-

tion mm' ^ -i , qui existe entre w et m', montre que la valeur absolue de l'un de ces coefficients est toujours moindre que - et l'autre plus grande; sauf le cas de i»=m'=^-, que

nous avons déjà mentionné.