On nomme cordes scqpplân^taires de.rhypeiixde

ox cordes Mil et VD' (fig* 408)^ qui jœgiient un point quelconque de la courbe aux extrémités d'un diamètre transverse. On démontre idenUquement.commepour Tellipse^ que deux cordes supplémentaires sont toujours parallèles à deux diamètres conjiigués.Gette propriété conduit aussi aux mêmes conséquences; elle rmet^ en particulier^ de mener une tangente à ITiyperbole r un point donné de la courbe , ou parallèlement à une Dite donnée: maïs, la construction étant identique avec Ile que nous avons développée dans la théorie de rellipse, us ne croyons pas devoir nous y arrêter. La considération des cordes supplémentaires donne aussi moyen de construire deux diamètres conjugués d'une hyrbolé qui fassent entre eux un angle donné ; enfin elle per» ît de trouver* les lin^ites de l'angle de deux diamètres 6onjués; dans ITiyperbole, Tanglé aigu de deux cordes supîmentaires peut varier de zéro à 90°^ ^

'De rhyperbole rapportée à ses diamètres conjugués.

189. On peut obtenir les résultats qui précèdent en çherant tous les systèmes d'axes, pour lesquels l'équation de yperbole ne renferme ni rectangle ni termes du premier gré. Soit '

(j) aY-^Vx^='^a''h\

quatioii de l'hypeibola rapportée à ses axes^ Remplaçant x

2kn GËOMÉTKlIi: ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.

pm xcosoL-^-ycos^ y y par x sina-j-ysina'; posant en outre: (J) tangatanga' = -j.

a'sin'o — 6* ces* a* a'sinV — 6*cosV'

rttmptîon de la courbe devient :

W ë — ^ =— 1 ou a'V — 6'*^*=— rf'fc"-

Uéquation (2) est nécessaire pour Févanouissement du rectangle; elle exprime alors la relation entre les coefficients angulaires de deux diamètres conjugués; les valeurs de a'* et 6'* sont positives, si Ton suppose que tanga soit compris

entré — - et +^; alors- le diamètre , pris pour nouvel axe

des Xy est transverae e|.8Qa conjugué non transverse. Il est évident que la (oingueiir W ^ bien ce que nous avons nommé la longueur du diamkre non transverse, dirigé ici suivant le nouvel axe des y.. Par un calcul semblable à celui que nous avons fait au sujet de l'ellipse ^ on déduit des équations (2) et (3) :

a'6'sin(a' — a) = 06; a"— 6'*=a*— *«.

Ces équations expriment que :

l"" Le parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués eit équivalent au rectangle construit sur les axes;

2° . La différence entre le carré d^un diamètre transverse et le carré de son conjugué est égale d ta différence entre le carré de Vaope iransverse et le carré de Vaxe non transverse.

Cette dernière propriété montre que deux diamètres conjugués '■ ne sont jamais égaux dans l'hyperbole. 11 n'y a

DBVBTHHMi». :«•

d'exception que pouE>.l'b]riMit&Ql!fc iéquilat^; les axes de celle-ci étant égaux entrè^eux, deux diamètres conjugués quelconques le sont aussi.

ASYMPTOTES DE L^HTPERBOLE. — ^LES ASTBIPTOTES COÏNCIDENT AVEC IBS DIAGONALES DU PARALLELOGRAMME TORME SUR DEUX DIAMèlBiS CONJUGUÉS QUELCONQUES. — LES PORTIONS d'uNE SÉCANTE OU d'uNK TANGENTE, COMPRISES ENTRE l' HYPERBOLE ET SES ASYMPTOTES, SONT ÉOAI^ffi ENTRE ELLES. — APPLICATION A LA CONSTRUCTION DE LA TABRE.

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