Soit

(1) ay — 6«:r« = — a»6*,

l'équation d'une hyperbole , rapportée à deux diamètres conjugués quelconques 2a et 2b; on en tire :

(2) y — ±- Jx*—a*. ,

D'après la théorie générale, exposée (n® 123), on aura les asymptotes de la courbe, en extrayant la racine carrée de la quantité ar*— -a**, qui est sous le radical de Téquation (2), sans avoir égard au reste de l'opération , et en remplaçant ensuite, dans l'équation, ce même radical par la racine obte* nue. Cette racine est â? ; les deux asymptotes sont donc données par l'équation

(3) y^±ix.

On peut démontrer ce résultat, àposkrioriy de la manière la plus simple; désignons en effet par y et y' les ordonnées de deux points, correspondant à une même abscisse x^ et appar-

250 GÉOMÉTRIE ANALYflMl A INEDX DIMENSIONS.

tenant l'un à l'hyperbole^ Fautre à Time quf|conque des droites représentées par l'équation (3) ; on aura :

-.« — — T* h^ ià'^ — X*'

d^où

on voit que si y et y' sont de mêmes signes^ ^ÉÉ^ ^^ P®^^ le supposer^ la dififérence y' — y sera nulle p|ppfe=±oo, car alors y et ^ sont tous deux infinis. Il s'ensuit que les droites (3) sont bien asymptotes de l'hyperbole.

La première des équations (3) est satisfaite en posant x=.±(^ y y = ±b y la seconde est satisfaite en posant x=±aj y=zf:h'y on en déduit que

Les asymptotes de l'hyperbole coïncident avec les diagonales du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués.

Remarque. Dans l'hyperbolç équilatëre, les équations des asymptotes sont :

y=x, y=î— ar;

d'où il résulte que

Les asymptotes de Vhyperbole équiiatère dimsent en partisi égales les angles formés par deux diamètres conjugués; ei, par conséquent y ces asymptotes sont perpendiculaires entre elles.

191, Soit MM' une corde de l'hyperbole (fig. 109); prenons pour axe des y le diamètre parallèle à cette corde, et pour axe des x le diamètre conjugué; Téquation de l'hyperbole sera, en désignant par ^a et 26 les longueurs des deux' diamètres ,

«V — ft'«'= — a*6*;

d'où l'on tire :

et les équations des asymptotes seront

On a alors évidemment :

MP = M'P et NP = N'P;

d'où Von déduit, par soustraction,