MN = M'N

ce qui prouve que

Les ^orliora d'une sécante quelconque, comprises entre l'hyperbole et ses asymptotes , sont égales entre elles.

Remarque I. La propriété que nous venons d'établir a évidemment lieu si la corde, interceptée par l'hyperbole sur la sécante, se réduit à zéro , auquel cas la sécante devient tangente. On peut, au surplus, donner, pour ce cas, une démonstration directe que le lecteur trouvera aisément lui-même.

Remarque II. Ce qui précède fournit le moyen de meflg, ,09, ner une tangente à l'hyper-

bole par uD pomt pns sur la courb^j il suffît, en effet, pour résoudre cette question, de mener par le point une

droite telle que la portion de cette droite^ comprise entre tes asymptotes, soit divisée, par ce point, en deux parties ^es.

LE RECTANGLE DES PARTIES D^UNE SECANTE y COMPRISES EHTBI H POINT DE LA COURBE ET LES ASYMPTOTES, EST EGAL AU CARRE DI LA KOITIÉ DU DIAMÈTRE AUQUEL LA SECANTE EST PARALLÈLE.

19S. Soient MM' (lig. 109) une sécante d'une hyperbole; N et N' les points où cette sécante rencontre les asymptotes; ia et 26 les longueurs des diamètres conjugués, dont Ton est parallèle à MM'* L'équation de Thyperbole sera

(i) ^Y — 6*a;*=— oW,

et celle des asymptotes ,

en désignant par X et Y les coordonnées des asymptotes. On tire de ces équations :

9i Pon suppose a?=X=OP, on aura:

Y«-y«=6«, ou (Y+i/)(Y-i,)=6% '

ou enfin

MN'XMN = 6«.

Il résulte de là que

Le rectangle des parties d'une sécante, comprises entre te asymptotes et un point de la courbe^ est égal au carré de la moitié du diamètre y auquel la sécante est parallèle.

DEiL'HYPERBOLE. 253

195. Les deux propriétés démontrées aux n°* 191 et 192 donnent le moyen de construire une hyperbole^ quand on connaît les asymptotes et un point de la courbe.

On peut d'abord construire la courbe par points. Si, en efiTet, on mène, par le point donné M (fig. 109), une droite quelconque NMN' qui i'encontre en N et N' les asymptotes, puis que l'on prenne N'M'=NM9 le point M' appartiendra à l'hyperbole. On pourra obtenir ainsi autant de points qu'on voudra de la courbe.

En second lieu, on peut trouver aisément les axes de l'hyperbole; en effet, pour avoir lés directions des axes, il sufBt de diviser en deux parties égales les angles formés par les asymptotes; on aura ensuite la demi-longueur de Tun des axes , en abaissant du point M une perpendiculaire sur la direction de l'autre axe, et cherchant ensuite (n» 192) une moyenne proportionnelle entre les segments de cette perpendiculaire, compris entre les asymptotes et le point donné.

194. Les mêmes propriétés donnent encore une méthode très-simple pour construire une hyperbole, quand on connaît deux diamètres, conjugués et l'angle qu'ils font entre eux. En effet, en menant les diagonales du parallélogramme con-. struit sur les diamètres conjugués, on aura les asymptotes; connaissant les asymptotes et deux points de la courbe, on pourra la construire par points ou trouver les axes par le moyen indiqué au n"" précédent.

FORME DB l'Équation db l'htfbrbole rappqrtéb a