CHAPITRE VIII

EQUATION HJ^ LA PARABOLB RAPPORTEE A SON AXE ET A LA TANGENTE AU SOMMET. — RAPPORT DES CARRES DES ORDONNÉES PERPENDICU- LAIRES A L^AXE.

As. On a vu (n» 114] que réquation du second degré peut être ramenéc^^ dans le cas de la parabole^ à la forma

Mt/* + Pa; = 0 ,

X ei 9 désignant des cocordonnées rectangubriraB. En ^po-

sant — -r- = ^ ^ cette équation devient :

C'est sous cette forme que nous la consîdérefons et nous sQpposeions j» positif; le cas de p < 0 se ramènerait de suite au cas'de p>0> en changeant le sens des abscisses posHives. On tire de l'équation (1)

La valeur dé y Wt imaginaire pour toutes les valeurs néga^ tives de oc $ kursqu'on fait croître a> de làro à L'infiiu> la va*

fig. 112.

eur de y est réelle et croît de zéro à l'infini ; la parabole

s'étend donc à l'infini à partir de l'origine^ et elle est formée de deux arcs OBy OC symétriques par rapport à Taxe des Xj comme l'indique la figure 113. L'axe des x est donc un axe de la courbe et l'origine un sommet. La ^[ùantité; se nomme le- parotnAf e de la parabole.

199. L'équation (1) montre que le rapport du carré, de l'ordonnée à Tabsciase est constant; il en résulte que: cioiu la parabole le$ carrés des ordonnées perpendiculaires él P'axe sont entre eux comme les distances du sommet aux pieds de ces ordonnées.

Cette propriété fournit un moyen de construire la parabole par points. En effet, soit OP (fig. 112) une abscisse quelconque.; prenons sur Oo;' une longueur OH==âp et sur HP, comme diamètre, décrivons une circonférence; par le point I , où cette circonférence coupe Taxe Oy , menons une parallèle h Ox; le point M, où cette parall^e rencontre Tordonnée menée par le point P, appartiendra à la parabole y*=2pa:; carcma:

MP =01 =OHxOP = 2pXOP.

200. On nomme points intérieurs à la parabole les points qui 9 comme ceux de l'axe Ox, sont renfermés daiis la figure formée par la courbe, et points extérieurs tous les autres

points du plan non situés sur la courbe. Gela posé, pour tout point «extérieur à la parabole ,

y« — 2pa?=0, on a:

y*— 2px>0,

et , pour tout point intérieur y

y* — 2pa?<Ô.

Cionsidérons d'abord le cas d'un point Mextérieur. Ce point aura %méme abscisse qu'un certain point de la courbe et une ordonnée plus grande en valeur absolue, ou il aura une abscisse négt^tive. Dans les deux cas on a évidenoiment y* — |pa;>0. Un raisonnement semblable prouve la deuxième partie du théorème.

VOTBR RT DIRBCTRIÇB DE LA PARABOLK. •— CHACUN BBS FOIHTS pB LA COURBE EST EGALEMENT iLOIGN^ DU FOTER ET DE LA DIREG^ TRICE. — CONSTRUCTION DE LA PARABOLE.