Soit la parabole (i) »' = 2pa

rapportée à son a^e et à son sommet; nous nous proposons de trouver les foyers qu'elle peut avoir. Soient a/ 6 les coordonnées d^m foyer et 8 la distance de ce foyer à un point quelconque M (a?, y) de la courbe ; on aura :

Mais, par définition (n<> 132)^ cette distance S peut s^exprimer

par une fonction linéaire Ix+my-^n àm coordonnées â» et ^ ; on a donc :

)/{x — a)* + (y — 6)* = te + my + ** ou

(3) (x—aY + (y—6Y^(lx + my+nY=0,

Cette équation (3)^ exprimant une relation constante entre les coordonnées de chaque point de la parabole^ n'est autre chose que l'équation même de cette courbe; elle doit, par suite; être identique à l'équation (i). Mais l'équation (1) ne renferme pai le rectangle asyj tandis^ que dans Té^llon (3) ce rectangle eriste avec le coelBSdent «- 3Im / il fitut donc que Fon ait /mc^Oy e'estnà-dire ^ IrsO où m=0.

Supposoni masO; alors ^ sera -une fonction linéaire de x seule. L'équation (2) donne :

en remplaçant y par sa valeur tirée de (4 )y savoir :

il vient:

8« = a?* — 2aa: + a« + 3p jr — 26 v/i^+ 6*.

Puisque 3 doit être rationnelle j il &ut, â fortiori y que S^ le soîtj cela exige que Ton ait 6=0, c'es1^à-^ire> que les foyers soient situés sur Taxe des x. L'expression de 8* devient alors:

a* = a* — 2(ot — p)a: + a» ;

pour que le second. membre soit un carré, il faut et il suffit que l'on ait:

DE LA PAMBOLE.

d'où Pott tire :

On trouve ainsi un foyer unique^ situé sur l'âXe/ à Uhê dis» tance du sommet égale à^.

n est àiié éê voir que lliypothè^ de /ssO est inadmissible; eSëctivemêût 8 sei^it alOK une fonction linéaire de y seul, et d'un autre côté, en rempla^

de S*> cette expression serait du quatrième degré en t^, ce qui est évidemment contradictoire. ' Si Ton prend sur O^r (fig, 413)

une distance OF == ~> le point P sera le foyer de la pai*abde