MA M

et l’arc OE est au-dessous de l’asymptote; t variant de t’ à 1, ô devient positive, et l’arc EC passe de l’autre côté de l’asymptote. L’autre racine t" donne le point F où la branche OA coupe l’asymptote.

350— Considérons maintenant le cas où l’équation, supposée algébrique et entière, n’est pas résolue par rapport à la variable y. Réunissons les termes du môme degré; représentons par 9 (x, y) l’ensemble des termes du degré le plus élevé m, par <\i(x, y) l’ensemble des termes du degré m — i, par 7M) y) les termes du degré m — 2,..., l’équation s’écrira

(0 y)=9{^> y)-^vAx, y) + ,..=o.

Désignons par ii le rapport et dans l’équation (i) remplaçons y |)ar «x; le polynôme 9 (x, y), homogène et du degré m

en X et y, renfermera le facteur a:” commun à tous ses termes, et l’on aura <p(a;, y) = x”*(p(i, u), ou, pour abréger, (p (x, y) = a;’"<p (u). De même, les polynômes <]/ [x, y), -/ {x, y),... deviendront i{/ (u), æ’""*/ (u), .. . . L’équation entre a: etu sera donc

arip (u) -f- a:"~‘ 'J' («) + *"'”’/,(**) -1- . . . =o; et, si l’on divise par a^,

Cette équation est, par rapport à u, du même degré que l’équation (i) par rapport à y; elle donne pour chaque valeur de

X les diverses valeurs du rapport Quand la valeur numérique de X augmente indéûniment, si l’une des valeurs de « tend vers une limite finie c, pour une couple de valeurs, dans laquelle x est très-grand et « voisin de c, tous les termes de l’équation (2), à partir du second, étant très-petits, on en conclut que le nombre c doit annuler le polynôme 9(«). Ainsi les coefficients angulaires des asymptotes sont des racines réelles de l’équation

Soit c l’une des racines réelles de cette équation. Posons y — cx — v, d’où u = -=c-l--* Si, dans l’équation (2), on

remplace u par cette valeur, on obtient l’équation qui donne les valeurs de v pour chaque valeur de x. Après avoir fait la substitution, développons chaque terme, l’équation devient

Mais on a ç(c) = o; multiplions tous les termes par x, l’équation prendra la forme

(5) [«<î/(c)-f-<Hc)]-+-Ai-hB^-t-... = o.

DES ASYMPTOTES

[îuand X augmente indéfiniment, si l’une des valeurs de v tend vers une limite finie d, comme une couple de valeurs dans laquelle x est très-grand et v voisin de d rend tous les termes à partir du second très-petits, on en conclut que le nombre d doit satisfaire à Téquation d(f/(c)H-<|;(c) = o; si la quantité ç' (c) est différente de zéro, on en déduit pour d la valeur

Ainsi, dans ce cas, lorsque x augmente indéfiniment, une des valeurs de v et une seule tend une limite finie d; le raisonnement du n° 344 montre que celte valeur de v est réelle pour les valeurs de x très-grandes, positives ou négatives, et qu’elle donne naissance à deux branches de courbe asymptotes à la droite y = cx-+-d.

Lorsque la valeur de c annule <j/ (c) sans annuler tj/ (c), aucune des valeurs de v ne tend vers une limite finie, quand x augmente indéfiniment. Si une valeur de c annule en même temps a/ (c) et ij/ (ç), l’équalion (4), multipliée par æ*, prend la forme

Dans ce cas, en général, deux valeurs de v tendent vers des limites finies, lorsque x augmente indéfiniment et ces limites sont les racines de l’équation

(7) ^-|^d*-+-<l/{c)d4-yJc) = o.

Lorsque cette équation a deux racines d' et d" réelles et différentes, une seule valeur de « tend vers d' quand x augmente indéfiniment, et donne naissance à deux branches asymptotes à la droite y = cx-¥- d'; deux autres branches sont de même asymptotes à la droite parallèle y = cx + d".

Si, par l’origine, on mène une droite OC' ayant pour coeffi-

dent angulaire c (fig. 210), la lettre v désigne la longueur MQ pour les diverses branches de la courbe.

351 — Exemple. Soit la courbe y* — — 2x’y = 0, construite au

n» 334 . On a dans ce cas 9 (u) = u* — u® = m’(u — 4). L'équation 9(») = 0 a une racine triple égale ^ zéro et une racine simple égale li 4. La racine simple, à laquelle correspond une valeur d égale à 4, donne une droite y = æ+ 4 asymptote à deux branches réelles. La racine triple ne pourrait donner que des asymptotes parallèles à OX; mais il est évident, d'après l'équation de la courbe, qu'aucune des valeurs de y ne tend vers une limite Gnie, quand x augmente indéGuiment.

359^ — Il est facile de ramener l’étude des branches infinies d'une courbe algébrique à celle des branches finies d’une courbe algébrique du même degré. Soient x ely les coordonnées d’un point quelconque M d’une première figure; à ce jioint M faisons correspondre le point Jf dont les coordonnées x' et y' sont données par les relations

desquelles on déduit inversement

Si le point M décrit une droite AaM-By-l-C = o, le point M'

Fig. 211.

Fig 212.

décrit une droite correspondante Cor'-l-By'-i- A = o, le coefficient angulaire de l’une des droites étant égal à l’ordonnée à l’origine de l’autre. En général, si le pointMdécrit une courbe du degré fn, le point M' décrit une courbe correspondante du même degré; à une sécante passant par deux points voisins de l’une des courbes correspond une sécante passant par deux points voisins de l’autre courbe, et, par conséquent, à une tangente correspond une tangente. Nous pouvons supposerque la première courbe est rapportée à des axes tels que l’équation renferme un terme en y*;

DES ASYMPTOTES. 319

alors on n’obtient des branches infinies qu’en faisant augmenter 05 indéfiniment, et toutes les valeurs du rapport £ tendent

vers des limites finies. D’après cela, si le point M décrit une branche infinie de la première courbe, comme tend vers zéro et r/' vers une valeur finie c, le point M' décrira une branche aboutissant sur l’axe des j/ à un point A' dont l’ordonnée est c (ûg. 21 1). On ramène de la sorte l’étude des branches infinies de la première courbe à celles des branches de la seconde courbe dans le voisinage des points situés sur l’axe des y.

Soit h! un point où la seconde courbe coupe l’axe des y; appelons d le coefficient angulaire de la tangente en ce point;

pour un point voisin M’, on aura = d-h^, 8 tendant

vers zéro avec a/; la branche A'M^ de la. seconde courbe est donc représentée par l’équation y' = c -i- dx' ^ x' ; à celte branche correspond une branche infinie de la première courbe ayant pour équation y = cx-+-d-h^, 8 tendant vers zéro quand a; augmente indéfiniment; à la tangente y' = c-i-dx' à la seconde courbe correspond l’asymptote y = cx-hd à la première. On sait que du point Af partent toujours un nombre pair de branches ayant la même tangente (n° 34i); la première courbe admet donc un nombre pair de branches infinies ayant la même asymptote. La tangente en A! étant la limite de la tangente en M', il en résulte que l’asymptote est la limita de la tangente au point M, quand ce point s’éloigne à l’infini.

Supposons, par exemple, que le point A' soit un point simple ordinaire, comme l’indique la figure 21 1; on voit qu’à la branche A'M' correspond une branche infinie M située au-dessus de l’asymptote vers la droite, et à la branche A' N' une deuxième branche infinie N située au-dessous de l’asymptote vers la gauche. S’il y avait inflexion en A' (fig. 212), les deux branches infinies seraient situées toutes deux d’un même côté de l’asymptote, l’une vers la droite, l’autre vers la gauche. Dans le second cas, on dit que la courbe a un point d’inflexion à l’infini.

Si le point A' est un point double avec deux tangentes différentes,, on a deux asymptotes parallèles, à chacune desquelles

correspondent deux branches inflnies ayant l’une des dispositions précédentes. Lorsque le point double A' est un point de rebroussement, on a deux branches asymptotes à la même droite, mais vers une même extrémité.

Nous avons supposé jusqu’à présent que la tangente en A' ne coïncide pas avec l’axe des y ; lorsque cette circonstance se présente, aux branches qui partent du point A' correspondent dans la première figure des branches inOnies dépourvues d’asymptote. La direction de la tangente au point M tend vers la direction déterminée par le coefficient angulaire c; mais elle s’éloigne à l’infini. On donne à ces branches infinies le nom de branches paraboliques. Si le point A' est un point simple ordinaire, les deux branches infinies sont dirigées dans le même sens; s’il y a infiexion en A', les deux branches sont dirigées dans des sens contraires.

353— Puisqu’à chaque valeur de x correspondent au plus ni valeurs réelles de y, la première courbe admet au plus m branches infinies du côté des x positives, et m branches infinies du côté des x négatives; ceci résulte d’ailleurs de ce que la seconde courbe est coupée au plus en m points par Taxe des y. Le nombre des tangentes à la seconde courbe en ces points d’intersection étant au plus égal à m, la première courbe admet au plus tn asymptotes.

Les droites menées par le point A' se transforment en droites parallèles à l’asymptote. Si le point A' est un point simple (n® 342), une sécante menée par ce point coupe la seconde courbe en m — i autres points; donc toute parallèle à l’asymptote coupe la première courbe en m — i points. La tangente en A' ne coupe la seconde courbe qu’en m — 2 autres points, et, par conséquent, Tasymptote ne coupe la première courbe qu’en m — 2 points; on dit que deux points d’intersection sont à l’infini. S’il y a inflexion en A', comme la tangente coupe la seconde courbe en trois points qui se confondent en A' (n" 333), Tasymptote aura trois points d’intersection à l’infini, et, par conséquent, ne rencontrera la première courbe qu’en m — 3 points.

354 — La transformation que nous avons effectuée revient

DES ASYMPTOTES

à prendre la perspective de la figure sur un plan. Considérons, en effet, deux figures placées. Tune dans un plan horizontal, Tautre dans un plan vertical coupant le plan horizontal suivant la ligne LT (fig. 21 3), et telles que Tune soit la perspective de Tautre, Tœil étant placé au point dont les projections sont 0 et &. Il est visible que, lorsqu’un point M s’éloigne à l’infini dans le plan vertical, sa perspective M' vient sur la droite o'y' parallèle à la ligne de terre; Tétude des branches infinies de la courbe

située dans le plan ^ vertical est ainsi ramenée à Tétude de Tautre courbe - dans le voisinage des points situés sur la droite &y'.

Si Ton rapporte Tune des courbes aux deux axes ox et oy, Tautre aux Fig. 313. deux axes o'xf et

o'y', on a les formules de transformation a/ = — * y' = ^ »

dans lesquelles a et b désignent les distances olo' et ao. Ces formules sont précisément celles que nous avons employées précédemment, quand on fait a = b = i.

Soit A' un point où la seconde courbe coupe la droite o'y'; la tangente A'B en ce point a pour perspective la droite A, A; aux deux branches M' et N', qui partent du point A', correspondent deux branches infinies M et N asymptotes à la droite AA,.

Lorsque la tangente en A' coïncide avec la droite o'y', comme cela a lieu au point C', l’asymptote est rejetée à l’infini et les deux branches F et (y donnent naissance à deux branches paraboliques infinies P et Q; la droite menée du point 0 à un point de Tune des branches P et Q tend vers la direction limite oC,.

35ft — Les courbes transcendantes peuvent couper leurs asymptotes en une infinité de points.