PROPRIÉTÉS DES FIGURES UOMOTIIÉTIQUES

— Puisque les droites OA', OB' sont divisées en A et B dansle même rapport, la droite A' B' est parallèle à AB, et l’on a AB OA A'B'""tyA'“*‘

Ainsi la droite qui joint deux points A et B du premier système et celle qui joint les deux points homologues A' et B' du second système sont parallèles, et dans le rapport constant k.

Soient A, B, C trois points en ligne droite, les droites A'B', A'C' respectivement parallèles à AB et à AC coïncident; donc, quand trois points sont en ligne droite, leurs homologues sont aussi en ligne droite. 11 en résulte que la figure homothétique d’une droite est une droite parallèle à la première. Si la première droite passe par le centre de similitude, les deux droites coïncident. Les droites homothétiques étant parallèles, on voit que l’angle de deux droites est égal à l’angle des droites homothétiques.

Les cordes qui joignent les points homologues de deux courbes homothétiques, étant parallèles, tendent, lorsque les deux points d’une même courbe se rapprochent indéfiniment, vers des directions parallèles; on en conclut que les tangentes à deux courbes] homothétiques aux points homologues sont parallèles.

3 y 8 — Si deux systèmes sont tels que les droites menées d’un point 1 aux différents points du premier système et celles menées d’un point 1' aux différents points du second soient respectivement parallèles et dans un rapport constant k, ces deux systèmes sont homothétiques. En effet, prenons sur l'I un point 0

tel que l’on ait ^ = k, les deux rayons OA, OA' sont en ligne

droite et dans le rapport constant k; donc les deux systèmes sont homothétiques et te point O est le centre d’homothétie.

379 — Deux systèmes homothétiques à un troisième sont homothétiques entre eux.

bE LA SIMIUTUUE.

Avec le centre de similitude 0 et le rapport k coustruisons un

Fig. 237.

premier système A'B'. . .1' homothétique au système AB...I (fig. 237); avec le centre CK et le rapport k! construisons un second système A"B" . . . 1".

Les droites l'A', TA", respectivement parallèles à IA, sont - parallèles entre elles. On a d’ailleurs

d’où

VA' k' rA"~k'

Ainsi les droites FA', l"A"sont parallèles et dans un rapport constant; donc, en Vertu du théorème précédent, les deux systèmes A' et A" sont homothétiques.

Deux systèmes A' et A" homothétiques à un troisième A et construits avec le même rapport sont égaux entre eux; car si /i = //, les rayons parallèles FA' et TA" sont égaux et les deux systèmes peuvent être superposés. On conclut de là qu’au moyen d’un seul centre O, en faisant varier le rapport k de o à oc , on peut construire tous les systèmes homothétiques au système donné.

Lorsque les deux systèmes A' et A" sont tous deux homothétiques directs ou homothétiques inverses, par rapport au système A, ils sont homothétiques directs entre eux; mais si l’un est homothétique direct, l’autre homothétique inverse, ils sont entre eux homothétiques inverses.

Les centres de simililude de trois systèmes homothétiques deux à deux sont en ligne droite. En effet, la droite OCK considérée comme appartenant au premier système a pour homologues, dans le second et dans le troisième système, cette droite elle-même, puiscju’elle passe par les centres O et CK. Cette droite est donc à elle-même son homologue dans les deux derniers systèmes, et, par conséquent, passe par leur centre de similitude 0".

3 80- A orsque deux figures à centre sont homothétiques

directes, elles sont aussi homothétiques inverses, et réciproquement.

Soient C et C' les centres des flgures (fig. 238), A et A* deux points homologues; prenons sur le prolongement de C'A' un point A{ tel que C'A', = C'A', le point A', appartient aussi à la

seconde figure; or.

■k; donc

: k; puisque les

rayons homologuts CA et C'A J sont dirigés en sens contraire, les deux courbes sont homothéliques inverses.

Fig. sas.

11 en résulte que les deux figures ont deux centres de similitude, l’un direct O placé sur le prolongement de la ligne des centres, l’autre inverse ou interne O' placé dans l’intervalle CC'.

Lorsque trois figures à centre sont homothétiques deux à deux, elles ont trois centres de similitude directe et trois centres de similitude inverse. Les trois centres de similitude directe sont en ligne droite; de même, deux centres de similitude inverse et un centre de similitude directe sont aussi en ligne droite.

381 — Les côtés homologues de deux polygones homothétiques ayant constamment pour rapport le nombre k, leurs périmètres sont dans le même rapport; ainsi le rapport dn périmètres de deux polygones homothétiques est égal au rapport de similitude.

Si l’on abaisse de deux sommets homologues de deux triangles homothétiques des perpendiculaires sur les côtés opposés, ces perpendiculaires seront des droites homologues dans les deux systèmes, leur rapport sera égal à k, et, par suite, le rapport des aires des triangles sera égal à ft*.

En décomposant deux polygones homothétiques en triangles

DE LA SIMILITUDE

homothétiques deux à deux, on voit que le rapport des aires des figures est encore égal à A-j ainsi le rapport des aires de deux polygones homothétiques est égal au carré du rapport de similitude.

Les deux théorèmes précédents s’étendent à dés figures planes^ terminées par des contours homothétiques quelconques.

38*— Exemples. On a vu que l’on obtient toutes les courbes homothétiques à une courbe donnée S, avec un seul centre de similitude 0, pris à volonté dans son plan. Considérons divers exemples :

ï* La courbe S est un cercle. Si l’on prend le centre du cercle pour centre de similitude, la seconde courbe sera un cercle, dont le rayon pourra avoir telle grandeur que l’on voudra.

2“ La courbe S est une parabole (fig. 289). La courbe étant rapportée à son axe et à la tangente au sommet, les coordonnées x et y d’un point quelconque M de cette courbe vérifient l’équation y*=2px. Si l’on prend le sommet pour centre de similitude et que l’on appelle a/ et y' les coordonnées du point homothétique M', on aura ii OM

^ = p — ^ = k, d’où X = kx', y = kt/; la courbe homo-

thétique est représentée par l’équalion y'^ = ~~x'; c’est une

parabole, dont le paramètre peut avoir telle grandeur que l’on voudra, à cause du rapport arbitraire k; on en conclut que deux paraboles quelconques sont semblables.

3“ La courbe S est l’ellipse — -t- ^ = i. Si l’on prend le

centre de la courbe pour centre de similitude, la courbe homothétique, représentée par l’équation

est une ellipse, dont les axes peuvent avoir des valeurs quelconques proportionnelles à celles des axes de la première

ellipse. On en conclut que deux ellipses sont semblables lorsque leurs axes sont proportionnels.

Le même théorème a lieu pour l’hyperbole.

4" La courbe S est la spirale logarithmique p = ae"*“. Quand on prend le pôle pour centre de similitude, les courbes homo-

tbétiques ont pour équation p = — si l’on pose k = e”‘^,

cette équation devient p = ae’"t“-®)j elle représente la spirale proposée, que l’on a fait tourner de l’angle a autour du pôle. Il en résulte que la seule courbe semblable à une spirale logarithmique est cette spirale elle-même; à un premier point M de la courbe correspond un autre point de la même courbe, et l’on peut prendre ce point M‘' à volonté, à cause du nombre arbitraire k.