ÉQUATION DES COURBES HOMOTHÉTIQUES

383— Soit

l’équation d’une courbe S. Prenons l’origine pour centre de similitude 1 et construisons avec le rapport k une courbe S' homothétique à la première. Si l’on désigne par x et \ "\ ^ y les coordonnées d’un point quel-

Fig. 24«. conque M de la première courbe,

par x' et y' celles du point homologue M' de la seconde, les triangles semblables OPM, (VFM' donnent

X y OM . •

si l’on substitue dans l’équation (i), on a l’équation (2) fikxf, ky) = o,

qui représente toutes les courbes homothétiques à la courbe proposée et ayant l’origine pour centre d’hoinothétie. Dans cette équation, on donnera à k une valeur positive lorsque l’homothétie sera directe, une valeur négative lorsque l’homothétie sera inverse.

DE LA SIMIUTL’DE

Laissant Gxe la courbe S, transportons la courbe S' dans le plan, de manière que l’origine O vienne en (V (p, q), et que les axes restent parallèles à leur position primitive; la courbe S' a pour équation, par rapport aux axes CKX' et C'Y',

f(kx', ky') = o,

et, par rapport aux axes fixes OX et OY,

Dans cette nouvelle position, la courbe S' est homothétique à la courbe S ; car les rayons vecleurs menés des points O et (V sont parallèles et dans le rapport constant k. L’équation (3) représente donc toutes les cotirbes homothétiques à la courbe proposée, quelle que soit la position du centre de similitude.

3S4— En même temps que nous transportons l’origine en (y, faisons tourner les axes de l’angle a; la courbe S' occupera alors une position quelconque dans le plan et sera simplement semblable à la proposée. La courbe S', rapportée aux axes mobiles (VX' et D'Y', a pour équation f{kx', ky') = o; au moyen des formules de transformation,

x' — {x — p) cosa-|-(y — q) sina, y' =— (x — p) sina-f- (y — q) cosa,

les axes étant supposés rectangulaires, on obtient l’équation de la courbe par rapport aux deux axes fixes OX et OY. Cette équation représente toutes les courbes semblables à la proposée.

385 — Comme application, cherchons les conditions pour que deux courbes du second degré

Ax*-t-Bxy-(-Cy*-hDx-|-Ey-l-F=o, A'x*-f-B'xy-t-C'y -)-D'y-l-E'y'-l-F'=o>

soient homothétiques. L’é(]uation générale des courbes homothétiques à la première courbe est (n“ 383)

’x’ -h BA*xy + CkY — q 4- 2 A A’p — DA) x — (BA’p -h 2 Ck'q — EA)y

H- (A A’p^ 4- B k'pq 4- C A' q' — D Ap — E Aq -+- F) = O.

En identifiant celte équation avec la seconde, on a

A B c -Bg-2Ap+5 Bp 2GgH-f A' Ü' ~ E'

Ap’ -t- Bpq -h C g* - ^ P — I q H- ^

L’élimination des trois paramètres p, q, k, entre ces cinq équations, donne deux équations de condition; or, les deux ABC

premières équations — = ne renfermant pas les pa-

ramètres a éliminer, sont précisément les deux équations de condition. Donc, pour que deux courbes du second degré soient homothétiques, il faut que les coefficients des termes du second degré soient proportionnels.

3S6 — Il reste à examiner si les valeurs des paramètres P, g, k sont réelles et finies; on évite cette discussion de la manière suivante. Puisque les coefficients des termes du second degré sont proportionnels, on [ eut les rendre égaux en multi[)liant tous les termes de l’une des équations par un facteur convenable; prenons donc les deux équations sous la forme

(4) Aaj’ + Bxÿ-l-Cy’-t-D ar-hE p-f-F =o,

(5) Aa:’-l-Ba:pH-Cp’-+-iya;-hE'y-l-F' = o.

Nous distinguerons plusieurs cas suivant le signe de la quantité B’ — 4 AC.

1° B’ — 4AC = o. Les deux lieux sont du genre parabole; si ces lieux sont effectivement deux paraboles, ils sont certainement semblables, puisque toutes les paraboles sont semblables; de plus, les axes des deux courbes, ayant le même coefficient

angulaire — sont parallèles, et, par suite, les courbes sont

homothétiques.

2® B’ — 4 AC < O. Les lieux sont du genre ellipse. Si, pour chaque courbe, on transporte les axes parallèlement à euxmêmes au centre de la courbe, les équations (4) et (5) de-

viennent

DE LA SIMILITUDE

(7) Aa;’-t-Ba:y + Cÿ’+E'i = o.

Les axes des courbes, dont les directions sont déterminées

par réquation tang2a=7- — p (n® 140), sont parallèles. Si

l’on fait tourner les axes des coordonnées de l'angle a, les équations (6) et (7) se réduisent à la forme

(8) Maj* -h Ny’ -h F, = o,

(9) Ma;’H-Ny*-f-F', = o.

Les coefficients H et N, dont les valeurs sont données par les relations

M-f-N = A-t-C, M — N = VB’-+-(A— Cj%

ont le même signe; pour que les équations (8) et (9) représentent deux ellipses, il faut que les quantités F„ F^ soient également de même signe et que, de plus, ce signe soit contraire au précédent. Lorsque cette condition est remplie, les axes des

deux ellipses ayant 1e même rapport

les ellipses sont

homothétiques.

3“ B‘ — 4AG > O. Les deux lieux sont du genre hyperbole. En faisant les mêmes transformations que dans le cas précédent, on arrive aux équations (8) et (9) dans lesquelles M et N ont des signes contraires. Lorsque les quantités F, et F', sont différentes de zéro, chacune des équations représente une hyperbole. Si F, et F'i ont le même signe, les axes réels des deux courbes sont parallèles, et comme le rapport des axes est le même, les courbes sont homothétiques. Lorsque F, et Fi ont des signes contraires, l’une des hyperboles est semblable à la conjuguée de l’autre. Dans tous les cas, les deux courbes ont leurs asymptotes parallèles.

On conclut de ce qui précède que, lorsque deux équations du second degré ont les coefficients des termes du second degré proportionnels, et représentent deux courbes, ces courbes sont homothétiques; cependant, quand les courbes sotit des hyperboles, il peut arriver que Vune soit homothétique à la conjuguée de l'autre.

IJVRK IV, CHAPITRE V.

ÉQUATION GÉNÉRALE D’uNE ESPÈCE DE COURBES.

387 — On appelle courbes de même espèce les courbes comprises dans une même définition géométrique, et qui ne difiêrent les unes des autres que par les valeurs attribuées aux paramètres qui entrent dans la définition générale. L’équation générale des courbes de l’espèce considérée est une équation qui, dans un systèmedecoordonnées, donne toutes ces courbes, quelle que soit leur position dans le plan, quand on attribue diverses valeurs aux paramètres variables qu’elle renferme. Ainsi, lorsque les axes fixes sont rectangulaires, l’équation générale de l’espèce cercle est {x — a)’ -4- (y — b]* — r’ = o. Cette équation renferme trois paramètres variables, savoir le rayon r et les deux coordonnées du centre a et b.

388 — Souvent on cherche d’abord l’équation de la courbe par rapport à des axes particuliers que l’on choisit de manière à simplifier le calcul; alors, pour obtenir l’équation générale, on la rapporte à des axes fixes par une transformation de coordonnées.

On a défini la lemniscate le lieu des points tels que le produit des distances de chacun deux à deux points F et F' soit égal au carré de la moitié de la droite F' F (fig. a4o). Si l’on prend pour origine le milieu (F de la droite F' F, pour axes des coordonnées (y F et une perpendiculaire à (F F, et si l’on désigne par 2c la distance F'F, la courbe, rapportée à ces axes particuliers variables, est représentée par l’équation (n® 829)

(x'* -+- y'*)’ 2C* iy'* — x'^) = O.

On rapporte ensuite la courbe aux axes fixes rectangulaires

OX, OY, au moyen des formules de transformation

x'=(x — a) cos 0-1- (ÿ' — b) sin o,

- j/'= — (æ— a)siua+(!/' — b)cosa,

dans lesquelles a et b désignent les coordonnées du point O' par rapport aux axes fixe.s et a l’angle de la

DE LA SIMILITUDE

droife (VF avec OX. On arrivera ainsi à une équation F (X, y, c, a, b, ct) = o

renfermant quatre paramètres arbitraires, et qui représente toutes les lemniscates; c’est l’équation générale de l’espèce.

L’équation générale d’une espèce de courbes, par rapport à des axes fixes, contient trois paramètres de plus que l’équation des mêmes courbes rapportées à des axes liés aux courbes d’une manière déterminée. Soit n le nombre total des paramètres, on pourra toujours remplacer ce système de paramètres par un autre système, tel que les variations de trois d’entre eux ne fassent que déplacer la courbe dans son plan, tandis que les variations des n — 3 autres changent sa forme ou ses dimensions.

3S9 — Le nombre des points, et, en général, le nombre des conditions nécessaires pour déterminer complètement une courbe d’espèce donnée est égal au nombre des paramètres arbitraires que renferme l’équation générale de l’espèce(n® 26g). Les remarques faites, à propos des courbes du second degré (n® 288) sur les conditions multiples, sont ici applicables. Toutefois, il importe de s’assurer préalablement que les paramètres qui entrent dans l’équation ne peuvent être réduits à un nombre moindre. Considérons, par exemple, le lieu des points tels que le rapport de leurs distances à deux points fixes, dont nous désignerons les coordonnées par (a, b), (a', V), soit constant et égal à k. Ce lieu, qui a pour équation

( I ) (X - a)’ -+- (ÿ - by - [{X - a>y -+- (y - 6')*] = o,

est une circonférence de cercle. L’équation (i) renferme cinq paramètres; mais si l’on développe et que l’on ordonne, elle devient

Trois des coefficients seulement renferment les paramètres; si on les représente par A, B, C, l’équation (2) prend la forme (3) x*-+-y*-t-Ax-f-Bj/-f-Ci=o.

Trois points suffisent pour déterminer les coefficients A, B, C,

et, par conséquent, la circonférence. Si l’on veut ensuite obtenir a, b, a’ , b, k, on aura un système de trois équations à cinq inconnues; il y aura indétermination, et deux des inconnues pourront être prises à volonté; ceci signifie que, pour une même circonférence, on peut trouver une infinité de couples de deux points tels que le rapport des distances de chacun des points de la circonférence à ces deux points fixes soit constant.

390 — La définition géométrique d’une espèce de courbes indique elle-même le nombre des paramètres arbitraires que renferme son équation générale. La définition du cercle exige la connaissance du centre, dont la position est déterminée par ses deux coordonnées, et celle du rayon, en tout trois constantes ou paramètres arbitraires. La définition de la lemniscate exige la connaissance de deux points fixes, ce qui fait quatre constantes; pour l’ellipse, comme il faut connaître en outre la somme des rayons vecteurs, la courbe dépend de cinq paramètres. Dans la définition de la spirale d’Archimède entrent un pôle, ce qui fait deux constantes, la position de la droite à l’instant oii le mobile passe au pôle, et un rapport, en tout quatre constantes. La conchoïde dépend de cinq constantes: un point fixe et une droite fixe, déterminés chacun par deux constantes, et une longueur.

391 — Un polynôme entier du degré m par rapport aux

deux variables x el y contient termeg. on en

conclut qu’il faut

I ou

points

2 2 pour définir une courbe algébrique du degré m. Par exemple, il faut 9 points pour définir une courbe du troisième degré, i4 points pour définir une courbe du quatrième degré.

D’après cela, on voit que toute équation du troisième degré peut SC mettre sous la forme

a,a,a, — Ali*y = o,

“d y désignant des fonctions entières et du premier

degré, et k un parainètre arbitraire ; car cette équation con-

DE LA SIMILITUDE. 35S

lient onze paramètres arbitraires; on peut même prendre à volonté Tune des cinq fonctions linéaires, puisqu’il reste encore neuf paramètres. Les trois droites «1 = 0, a, = o, aj = o sont tangentes à la courbe aux points où elles sont coupées par la droite p = o; et les points où ces tangentes sont coupées par la droite Y = o appartiennent aussi à la courbe. En prenant ^ à volonté, on a le théorème suivant : si Ton coupe une courbe du troisième degré par une droite quelconque p = o, qu’aux trois points d’intersection on mène les tangentes à la courbe, chacune des tangentes coupe la courbe en un nouveau point, et ces trois points sont en ligne droite. En prenant y à volonté, on a cet autre théorème : si Ton coupe une courbe du troisième degré par une droite 7 = 0, que par chacun des points d’intersection on mène des tangentes à la courbe, les points de contact de ces tangentes sont trois à trois en ligne droite.

Supposons (|ue la droite p = o s’éloigne à l’infini, les trois tangentes a, = o, a, = o, aj=o auront pour limites les trois asymptotes de la courbe; chacune de ces asymptotes coupe la courbe en un seul point, et ces trois points sont en ligne droite.

On voit que toute équation du quatrième degré peut être mise sous la forme

<p désignant un polynôme du second degré; car celle équation contient 16 paramètres; on peut même prendre |3 à volonté, puisqu’il reste 14 paramètres. Ainsi, quand on coupe une courbe du quatrième degré par une droite quelconque, qu’aux quatre points d’intersection on mène des tangentes, et qu’on prend les deux autres points où chaque tangente rencontre la courbe, on a huit points situés sur une conique <p = o.

Une courbe du quatrième degré a quatre asymptotes; chacune d’elles coupe la courbe en deux points; les huit points sont sur une conique.