CONDITIONS DE SIMILITUDE DE DEUX FIGURES

303— Considérons une série de courbes de même espèce, dans la définition desquelles il n’entre qu’un paramètre

3o6 LIVRE IV, CHAPITRE V.

linéaire A, dont nous désignerons la mesure par a, et soit

l’équation qui représente toutes ces courbes, abstraction faite de leur position dans le plan. Si l’équation (i) a été obtenue sans spécifier l’unité linéaire, elle est nécessairement homogène par rapport à x, y, a. Quand on change le paramètre linéaire A, ce qui revient, l’unité restant la même, à faire varier le nombre a, l’équation (i) définit une série de courbes homothétiques. En effet, soit A, un paramètre ayant pour mesure a,; à ce paramètre correspond la courbe particulière

1..6S courbes homothétiques à la courbe (s), l’origine étant le centre d’homolhétie et k un rapport arbitraire, sont représentées par l’équation (n® 383)

(3) f{kx, ky, a,) = o.

Désignons par, A, un second paramètre ayant pour mesure un nombre a,, tel que — = k, l’équation (3) pourra s’écrire

f(kx, ky, ka,) = lr«f(x, y, a,) = o.

ou (4) f{x, y, a^)—o;

ce qui signifie que les courbes homothétiques à la courbe (a) sont les diverses courbes que Ton obtient en faisant varier le paramètre A.

393 — En général, supposons qu’il faille n paramètres linéaires A, B, . . . pour définir toutes les courbes d’une même espèce, abstraction faite de leur position dans le plan; désignons par a, b, c, ... les mesures de ces paramètres au moyen d’une unité arbitraire; l’équation des courbes de l’espèce

(;>) f(^, y, Cl, b,...) = o

sera homogène par rapport à x, y, a,b,... Les courbes définies par l’équation (5) et qui correspondent à deux séries de paramètres proportionnels A„, B,„ . . . et A„ B„ . . . , sont homo-

RÉSOLUTION GRAPHIÜUE DES ÉQUATIONS. 357 thétiques; car, si l’on désigne par k le rapport des paramètres

les courbes homothétiques à la courbe

sont représentées par l’équation

f{kx, ky, ka^, kb^,. . .) = lrf(x, y, o„ 6j,...) = o, ou f{x,y,a„h„...) — o.

Il résulte de ce qui précède que, lorsque la courbe, abstraction faite de sa position dans le plan est déOnie par une seule longueur, toutes les courbes de l’espèce sont semblables. Ainsi, le cercle étant déflni par son rayon, la parabole par la distance du foyer à la directrice, la lemniscate par la distance des foyers, la spirale d’ Archimède par la longueur que parcourt le mobile sur ila droite pendant une révolution de cette droite, toutes les circonférences sont semblables, et de même toutes les paraboles, toutes les lemniscates, etc.

L’ellipse étant déQnie par les deux axes, la condition de similitude de deux ellipses est que ces axes soient proportionnels, comme nous l’avons déjà reconnu au n® 382. Il en est de même de deux hyperboles.