CHAPITRE VI

Réaointlon graphique dea équattona. }

394— Considérons deux équations à deux inconnues a; et y (i) ç(a;, y) = o, (2) y) = o;

chacune d’elles définit une courbe. Au système de ces deux équations, on peut substituer une infinité de systèmes équivalents; prenons en particulier le système

formé de l’une des équations proposées et de celle que l’on obtient en éliminant entre elles la variable y. Les racines

réelles de l’équation (3) sont les abscisses des points communs aux courbes (i) et (2). Cependant, si le système des. équations (i) et (3) était véritié par une couple de valeurs de la forme a? = a, y = [i -t- y t, dans lequel les quantités a, y sont réelles, ces valeurs vérifieraient le système des équations (1) el (2) ; mais la quantité a ne serait pas l’abscisse d’un point réel commun aux deux courbes. L’exception que nous venons de signaler ne se présente jamais lorsque l’équation (p(Æ, y)=o est une équation algébrique ne renfermant la variable y qu’au premier degré.

Lorsqu’on veut résoudre une équation f{x] = 0 à une seule inconnue, on peut choisir d’une infinité de manières différentes les courbes déterminées par les équations (i) et (2). La seule condition à remplir, c’est que l’élimination de y entre les équations (i) et (2) donne l’équation proposée. Une première combinaison est y — f{x), y = o, ce qui revient à considérer les valeurs de l’inconnue comme les abscisses des points de rencontre de la courbe y = f{x) et de l’axe de x. Cette combinaison est rarement la plus simple. On démontre en algèbre que si l’on élimine une inconnue y entre deux étiiialions algébriques à deux inconnues dont les degrés sont m et n, l’équation en X est généralenient du degré mn. Par conséquent, si l’équation proposée est algébrique et que l’on veuille obtenir scs racines par des intersections de courbes algébriques, le produit des degrés des équations des deux courbes devra être égal au degré de l’équation à résoudre. Appliquons celte méthode à la résolution de l’équation du quatrième degré.

305— L’équation du quatrième degré se ramène aisément à la forme

(4) x'-{-px--hqx-^ r — o;

on peut la considérer comme provenant de l’élimination de y entre les deux ét|uations du second degré

(5) ic* — my = O, (6) m’y* -f- pmy -h qx -+■ r = o,

qui définissent chacune une parabole. L’équation (5) ne renfermant y qu’au premier degré, toutes les racines réelles de