LIMAÇON DE PASCAL

34 — Par un point A pris sur un cercle, on mène une sécante quelconque AD, sur laquelle à partir du point D, où elle rencontre le cercle, on porte de part et d’autre des longueurs constantes DM et DN; le lieu des points M et N (flg. aS) est une courbe nommée limaçon de Pascal.

On obtiendra la courbe entière en supposant que le rayon vecteur coïncide d’abord avec le diamètre AB du cercle, et tourne ensuite d’un angle droit dans un sens ou dans l’autre. On obtiendra aussi la courbe entière en faisant faire au rayon une révolution complète, et portant la longueur constante dans le sens du rayon à partir du point où ce rayon ou son prolongement coupe le cercle. La courbe présente trois formes différentes, suivant que la longueur constante o est supérieure, égale ou inférieure au diamètre b du cercle.

I® Considérons d’abord le cas où la longueur a est plus

grande que b. Quand le rayon coïncide avec AB, il faut, à partir du point B, porter sur ce rayon une longueur BG égale à a, ce ^ qui donne un point G du lieu (fig. 23). Lorsque le rayon tourne autour du point A et occupe la position AD, on a le point M.

Quand le rayon a tourné d’un angle droit, le point D vient eu A, et le point M en M'. Le rayon continuant son mouvement, prend la direction AD'; son prolongement coupe le cercle eu D,; il faut, à partir de ce point D„ porter dans la direction même AD' une longueur D,M, égale à a. Quand le rayon, ayant tourné de deux angles droits.

EXEMPLES

occupe la position AX', le point D, vient en B, et le point M, en H; on a ainsi l’arc M'M,H qui fait suite au premier^ et qui est aussi extérieur au cercle. Le rayon dépassant la position A\' et tournant encore de deux angles droits pour revenir à la position initiale AX, le point mobile décrit l’arc HN'G, symétrique de l’arc GMH par rapport à la droite X^X. De cette manière le point décrit la courbe entière d’un mouvement continu.

2° Supposons maintenant que la longueur a soit égale à b.

Le rayon vecteur tournant de deux angles droits, à partir de la position initiale AX, le point M décrit l’arc GMM'A (flg. 24), qui vient aboutir au pointA.

La tangente en A est la droite AX', position limite de la sécante AM,.

Fig. SI.

de rebroussement.

Le point A est un point

3° Considérons enfin le cas où la longueur a est plus petite que b. Lorsque le rayon vecteur tourne d’un angle droit à partir de la position initiale AX, le point M décrit l’arc GMM' (Og. 2.’>). Le rayon prend ensuite la direction AIE; le point D

vient en D„ le point M en M,. Le rayon arrive à une position AD"telleque la corde D,A est égale à o;le ' point M, vient alors en A et la courbe est tangente à la droite AD". Le rayon continuant son mouve-

53 ment, la corde D,A

devient plus grande que a, et, si l’on prend la longueur D,M, égale à a, on a un point M, situé à l’intérieur du cercle. Enfin,

quand le rayon prend la direction AX', le point M, vient en H. L’arc extérieur GM'A se prolonge ainsi suivant l’arc intérieur AM, H. L’autre moitié de la rotation donne l’arc HNAN'G, symétrique du premier par rapport à la droite X'X, et complète la courbe.

35 — Cherchons l’équation de la courbe en coordonnées polaires. Prenons le point A pour pôle, et la droite AX pour axe polaire. Appelons w l’angle que fait la direction du rayon avec la direction AX. Quand la direction même du rayon coupe le cercle, ce qui a lieu dans la position AD, le triangle rectangle ADR donne AD = 6cosw, et, par suite,

P = DM -f- AD = a -H 6 cosw.

Quand c’est le prolongement du rayon qui rencontre le cercle, ce qui a lieu dans la position AIV, l’angle w est l’angle XAIV; le triangle rectangle BAD, donne D,A = — ôcosw, et, par suite,

P = D,M, — Dj A = a H- 6 cos w.

Dans la figure (25), quand le rayon occupe la direction AD'", la longueur du rayon vecteur n’est plus portée dans la direction même de ce rayon, mais dans la direction opposée; il convient de regarder ce rayon vecteur comme négatif; on a alors

P = — AM,= D,M, — AD,= a -I- 6 costo.

Ainsi, dans tous les cas, la courbe entière est représentée par l’équation

(i) P = a-l-6 cosw.

En coordonnées rectilignes, si l’on prend le point A pour origine, le diamètre AB pour axe des x, une perpendiculaire pour axe des y, l’équation de la courbe est

(2) (x’-l-y* — hxy=a}(x'-{-y').

On l’obtient en remplaçant dans l’équation (i) cosw par sa

CO

valeur -■> puis p’ par (n° 29), et élevant au carré

pour faire disparaître le radical.

36— On obtient cette même courbe par un autre procédé. Étant donné un cercle GH et un point fixe A, imaginons qu’une

EXEMPLES

tangente mobile CM rotile sur le cercle, et du pointA abaissons

une perpendiculaire ÂM sur cette tangente (fig. 26); on demande le lieu du point M.

Il y a trois cas à considérer, suivant que le point A est intérieur au cercle, sur le cercle, ou extérieur.

Supposons, par exemple, le point A extérieur au cercle. Lorsque la tangente touche le cercle en G, la perpendiculaire abaissée du point A coïncide avec le diamètre AG et le point G est un point du lieu. La tangente roulant sur le quart de cercle GCC', le point M décrit l’arc de courbe GMM'. La tangente s’incline ensuite jusqu’à la position C"A, et l’on a l’arc de courbe M'A. I^ tangente continuant son mouvement suivant C"H, le pied de la perpendiculaire tombe au-dessous du diamètre et l’on a l’arc de courbe ANH. Nous avons fait rouler la tangente sur le demi-cercle GC'N; en la faisant rouler sur le demi-cercle inférieur, on obtiendra une partie symétrique de la première.

37 — 11 est facile de construire géométriquement la tangente en un point quelconque M de la courbe (fig. 27); soient CM et C'M' deux tangentes voisines du cercle, L leur point de rencontre, AM et AM' les perpendiculaires abaissées du point A sur ces tangentes; la circonférence décrite sur AL comme diamètre passe par les Fig. 37. deux points M et M', et la sécante MM'

de la courbe est aussi une sécante de ce cercle. Si, maintenant, on suppose que le point G' se rapproche indéfinimentdu pointe, le point M' se rapprochera du point M; le diamètre AL coïncidera avec AC et la sécante MM' deviendra tangente en M au cercle décrit sur le diamètre AC. Ainsi, en joignant le point M au milieu D de la droite AC et menant une perpendiculaire MT à DM, on aura la tangente à la courbe au point M. Au point multiple A (fig. 26), les tangentes aux deux branches de courbe qui pas-

sent en ce point sont respectivement perpendiculaires aux tangentes telles que AC" menées de ce point au cercle donné.

Noos ferons remarquer que la copstruction géométrique de la tangente resterait la même, si l’on considérait le lieu du pied de la perpendiculaire abaissée d’un point fixe sur la tangente mobile à une courbe quelconque.

Cherchons l’équation de cette courbe en coordonnées polaires; prenons le point A pour pôle, le diamètre AG pour axe polaire (flg. 26); désignons par a le rayon BG du cercle donné, et par b la distance AB. Si, par le centre B du cercle, on mène une parallèle BD à la tangente CM, on a

P = AD -1- DM = 6 cos to a.

Celte équation est la même quel’équation (i), d’où l’on conclut l’identité des deux courbes.

Au reste, il est facile de reconnaître géométriquement celte identité. L’angle D étant droit, le lieu du point D est le cercle décrit sur AB comme diamètre; on obtiendra donc le point M en prolongeant la corde AD d’une quantité constante DM égale à BC.