RÉSOLUTION GRAPHIQUE DES ÉQUATIONS

réquation (i) sont des abscisses de points réels communs aux deux courbes.

On peut remplacer la parabole (6) par une autre courbe du second degré passant par les points communs aux courbes (5) et (6). L'équation générale des courbes du second degré satisfaisant à cette condition (n® 275) est

(7) qx-\-m{p — k)y-\-r = o.

k étant un paramètre arbitraire. Si l'on prend k — m*, la courbe (7) ne pourra être qu’une circonférence de cercle. On obtient les coordonnées a et è du centre et le rayon R de cette circonférence par les formules

zm

Lorsque la \aleur de R’ est positive, l’équation {7) représente un cercle réel, et les racines réelles de l’équation (4) sont les abscisses des points de rencontre de ce cercle et de la parabole (5). Lorsque la valeur de R* est négative, l’équation (7) n’ayant pas de solutions réelles (n“ 85), il en est de même du système des équations (5) et (6), ou du système équivalent des équations (4) et (5) ; les quatre racines de l’équation proposée sont imaginaires.

306 — Considérons maintenant l’équation du troisième degré ramenée à la forme

x^-\-px-i-q = o.

Si l’on multiplie par x, ce qui introduit la racine x = o, dont on ne tiendra pas compte, on obtient l’équation du quatrième degré x'^+px^-i-qx — o, a laquelle on appliquera la méthode précédente. La valeur de R* étant ici égale à a*-l-6* est toujours positive. Le cercle et la parabole passent à l’origine des coordonnées; l’abscisse de ce point est la racine x = o, que l’on doit écarter.

La même parabole a?* — my = o peut servir pour la résolution de toutes les équations du troisième ou du quatrième degré; le cercle seul change suivant les valeurs des coefflcients de l’équation proposée. Cette méthode ne peut être employée

3bO LIVKE IV, CHAPITRE VI. I

avec avantage que lorsque l’on doit résoudre successivement un grand nombre d’équations; alors oh trace avec beaucoup de soin une parabole ayant un paramètre arbitraire; et, dans chaque exemple particulier, il ne reste plus qu’à déterminer le cercle.

397 — Lorsque l'inconnue x est une ligne, et que l’unité n’a pas été spécifiée, l’éijuation f(x) = o est une équation homogène entre l’inconnue x et diverses lignes connues. Dans le cas où l’équation est du quatrième degré, si les coeffleients p, q, r sont des fonctions rationnelles, ou des fonctions irrationnelles du second degré des longueurs données, en prenant pour le paramètre m de la parabole une longueur arbitraire, on pourra construire, avec la règle et le compas, les coordonnées du centre et le rayon du cercle.

Mais si l’équation est une équation numérique, c’est-à-dire si les coeffleients sont des nombres donnés, on prendra pour m un nombre déterminé, on fera, par exemple, rti — i, et l’on construira la parabole et le cercle à l’aide d’une échelle arbitraire; l’abscisse de l’un des points de rencontre, évaluée à la même échelle, donnera la valeur du nombre inconnu x.

On sait que la résolution de deux équations du second degré à deux inconnues x et y, ou la recherche des points d’intersection de denx courbes du second degré, se ramène à la résolution d’nne équation du quatrième degré à une inconnue. Cette résolution pourra donc être effectuée à l’aide d’une parabole déterminée et d’un cercle. Cependant, si l’une des courbes du second degré est déjà tracée, on pourra l’employer avec le cercle.

Exemple I. Mener une normale à une parabole — 2pa;=0 par un point donné P dont les coordonnées sont æ, et Les coordonnées æ et y du pied de la normale sont déterminées par le système des deux équations

(i) y^—zpx — o, (2) xy — (x, — p)y—py, = 0.

Si l’on multiplie tous les termes de la dernière par y, et qu’on remplace y’ par 2px, on a une nouvelle parabole a:’ — (a?,— p)a? — = 0; en ajotitant membre à membre les équations des deux paraboles, on obtient Icccr-

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RÉSOLUTION GRAPHIQUE DES ÉQUATIONS. 3<il

de ac*-i-y’ — (æ,-r-p)ï— 0. Les points où ce cercle coupe la pa-

rabole propos(^e sont les pieds des normales (n» 318).

398 — Exemple II. Résoudre féquation numérique x* — 2x — 6 = 0.

Fig. m

Exemple III. Résoudre l’équation

Au moyen d’une échelle bien faite construisons la parabole x* — y; décrivons le cercle dont le cen-

tre C a pour coordonnées a = ^«

b — y et qui passe a 1 origine; ce

cercle coupe la parabole en un seul point M ; donc l’équation proposée ^ n’a qu’une racine réelle, l’abscisse OP du point M. En mesurant cette longueur au moyen de l’échelle employée, on trouve x = 2,09.

ar* — 5x+1 =0. Décrivons le cercle

dont lu centre C a pour coordonnées a = — 5. 5 = 3, et qui passe par

l’origine ; ce cercle coupe la parabole en trois points ; on en conclut que l’équation a ses trois racines réelles ; en mesurant les abscisses, on trouve que les deux racines positives sont 0,20 et 2,13 ù un centième près.

Exemple IV. Considérons l’équation transcendante xtangx=1. Cette équation résulte de l’élimination de y entre les deux équations y — tangx, lÿ = 1 . La première représente une courbe composée d’une infinité de

branches égales qui ont des asymptotes perpendiculaires è l'axe des x; la seconde une hyperbole équilatère. Il est évident que la branche de droite de l’hyperbole rencontre au moins une fois chacune des branches OA, B' A’,... de la courbe transcendante; d’ailleurs, il n’y a sur chaque branche qu'un

Fig. ii‘J.

seul point de rencontre:

(ar lorsque x varie, les ordonnées des deux combes varient en sens con-

trairas: si ces ordonnées sont égales pour une certaine valeur de x, elles sont nécessairement inégales pour toute valeur différente. Les racines de l'équation sont deux à deux égales et de signes contraires; il v a

une première racine positive comprise entre 0 et 5, une seconde entre t:

3 Tt . . - 5jt

et une troisième entre zr. et —, etc..

le nombre des racines est

inlini. En appelant x, le n'^' racine, la différence entre x, et (n — 4)x est très-petite lorsque n est très-grand. La courbe doune, pour valeur de la première racine 0,86, è un centième près.

On pourrait aussi se servir des deux équations y =tang

•fl ^

et, en posant 5 — x = x', y — tangx', y = = — x'. L’hyperbole serait

remplacée par une ligne droite.

399— Remarques. Les procédés graphiques que nous venons d’indiquer ne donnent pas les valeurs des inconnues avèc une bien grande précision; on ne doit pas espérer une approximation plus grande que un centième de la racine.

On se sert quelquefois de deux courbes tracées grossièrement pour déterminer le nombre des racines réelles d’une équation. Or, tant que l’on n’a pas étudié avec soin la forme des deux courbes, on ne peut déduire aucune conclusion rigoureuse de cette construction. En général, la discussion des courbes et la détermination de leurs points de rencontre présente les mêmes difficultés que la question proposée.