CBAKGEHENT DE LA DIRECTION DES AXES

410— Considérons maintenant le cas où l’on change la di-> rection des axes, l’origine demeurant la même. Désignons par a, b, e les cosinus des angles que fait l'axe OX' avec les trois axes OX, OY, OZ, par a', b', & et a”, b", c" les quantités analogues pour OY' et OZ', et, enfin, par X, [*, v les angles Y’OZ, ZOX, XOY (flg. 252).

Soit M un point quelconque de l’espace; par le point M, menons une parallèle MC à l’axe OZ, et par le point C, où cette droite perce le plan XOY, une parallèle CD à l’axe OY; les trois longueurs OD, DC, CM, prises avec les signes convenables, sont les coordonnées x, y, s du point M, par rapport aux an-

ciens axes. Par le point M menons une parallèle MG' à l’axe

OZ', et par le point C' où elle perce le plan X'OY', une parallèle C'D' à l’axe OY'; les trois longueurs OD', lyC', C'M, prises avec les signes convenables, sont les coordonnées x' , y', z! du point M, par rapport aux nouveaux axes. En projetant les deux lignes brisées ODCM, OD'C'M, successivement sur chacun des trois axes OX, OY, OZ, on obtient les trois relations

ix -+- y cosv -I- Z cosg = oæ'-i- a! y' o"s', «cosv -i-y -+-zcos>. = 6Æ' + /yy'-Hλ"2', a: cosfi. -f- y cos>. -I- Z =ray-Hc'y'-f-c"r',

desquelles on peut déduire pour x, y, z des expressions du premier degré en a/, y', z'. Le déterminant de ces équations est le même que celui des équations du n" 408.

Il faut se rappeler que a, h, c ne sont pas arbitraires, mais liées par une équation de condition; il en est de même de a', b, & et de o", b", c". Il y aurait entre ces mêmes quantités trois nouvelles relations, si .l’on voulait que les nouveaux axes fussent rectangulaires, ou, plus généralement, qu’ils fissent deux à deux des angles donnés.

4R1 — Quand les axes primitifs sont rectangulaires, on a

COS>. = COS(i = cosv = cos = O, les équations (2) se réduisent à

Si les nouveaux axes sont aussi rectangulaires (fig. 253), on a en outre les relations

Iaa' -^bV -\-cd =o, a'a’’+Vh”^c!c”=o, a"o +6''6h-c"c =o.

Si l’on multiplie les deux membres des équations (3) par h, c, puis par a', V, d , et o", 6", c", et qu’on ajoute, il vient, en ayant égard aux relations (4) et (5],

!x/ = ax -\-hy -f-c5, y' = a' x-^-b' y-+-d Z, z' = a"x 4- b" y 4- d'z,

On obtient ces formules directement en projetant les lignes brisées ODCM, OIKC'M sur les axes OX', OY', OZ'.

Puisque les nouveaux axes sont rectangulaires, les quantités (a, a', a"), {b, b', b"), (c, d, d'), qui désignent les cosinus des angles des directions OX, OY, OZ avec les nouveaux axes, doivent satisfaire aux relations

( c*4-c^*4-c"’ = i, { ca -h d a' -h c" a" = o,

analogues aux relations (4) et (5).

ilttl — Des relations précédentes entre les neuf cosinus, on en déduit un grand nombre d'autres parmi lesquelles nous citerons les suivantes, qui sont particulièrement utiles. Les deux dernières des équations (S) déterminent les rapports des quantités a", b", c"; on en déduit

g" 6" c" ^ Va”» 4-6"* 4- c"*

ht —cd ca!—ad ab' — ba' ~ \l(bd—cd)*-h(ca>—ad}‘-h(ab>—ba'/ Mais on a

(bd — c60* 4- (co' — oc')‘ 4- (ab' — 6o')’

= (o*4- 6*4- c*) (g'* 4- 6'* 4- (/*) — (aa' 4- bb' 4- cd)* = t .

Il en résulte

fl" 6” c"

^ bd — Ob' ca' — ad ab' — ba'

On prendra l’un ou l’aulre signe siiivanl la disposilion du trièdre OX'Y'Z',

Quand on fait coïncider OX' avec OX, OY' avec OY, OZ' prend la direction OZ ou la direction opposée. Pour cette position particulière, on a, dans le premier cas, a = 6'=c"=1, o'= o"= 6 = 6"= c = c' = 0, et il faut prendre le signe dans le second cas, il faut prendre le signe — . Si le trièdre se déplace d’iine manière continue, les angles, et par conséquent leurs cosinus, variant d’une manière continue, on doit conserver le même signe devant chacun des binômes, tant que ce binôme ne s'annule pas; les trois binômes ne pouvant devenir nuis ô la fois, on en conclut que le même signe doit être conservé, quelle que soit la position du trièdre.

Si l’on forme le déterminant des équations (3) ou (6), on a, en vertu des relations (9),

Ob' c" — a&b"-\- ca'b"—ba'c"-i- bd a” — cb' a"

= {bd — cV) a" -h {ca' — ad) b" -+- {aV — ba') c" = ±i,