FORMULES D’EULER

413 — Les formules précédentes, pour passer d’un système rectangulaire à un autre également rectangulaire, offrent l’avantage d’être symétriques par rapport aux angles ; mais, quoique les angles soient au nombre de neuf, il n’y en a réellement que trois qui soient arbitraires; c’est pourquoi il ne faut jamais perdre de vue les relations qui les lient. Celte dépendance des neuf cosinus est, dans certains cas, un obstacle pour constater l’identité de deux expressions. On a donc cherché des formules dans lesquelles n’entrent que trois constantes; le choix de celles-ci était naturellement indiqué dans plusieurs questions de mécanique et d’astronomie, où l'on emploie de préférence les nouvelles formules.

On peut déterminer la position des nouveaux axes par l'angle <(' que fait avec OX la trace OA du plan X'OY' sur le plan XOY, l'inclinaison 6 du

plan X'OY' sur le plan XOY, inclinaison mesurée par l'angle ZOZ', enün l’angle ç de l’axe OX' avec la trace OA (Gg. 254].

Or, il est possible d'amener le premier système sur le second, par trois rotations successives. Faisons tourner d’abord les axes primitifs de l’angle autour de OZ; tandis que F‘S -5‘1- l’axe OZ reste immobile, les axes

ÜX et OY tournent dans leur plan de l’angle >];; l'a*6 OX vient donc occuper la position OA ou OX,, et OYune certaine position OY,. Remarquons (]ue l’axe OZ', perpendiculaire sur le plan X'OY', et, par suite, sur la trace

LIVKE V, CHAPITRE II.

Oâ, esl couienu dans le plan YjOZ perpendicnlaire ^ OA. AGluellement, faisons tourner de l'angle 0 autour de OA; laiidia que Taxe OX, reste immobile, les deux axes OY, et OZ tournent dans leur plan de l'angle 6 ; donc OZ vient occuper la position OZ', et OY, une certaine position OY, comprise dans le plan X'OY'. Enün, faisons tourner de l'angle f autour de OZ’, puisque les deux axes OX,, OYi tournent dans leur plan de l’angle 9, il en résulte que OX, vient se placer sur OX', et OY, sur OY'. Après ces trois rotations successives, les axes primitifs coïncident avec les nouveaux axes.

On a, de cette manière, quatre systèmes d’axes è considérer, savoir : OXYZ, OX,Y,Z, OX,Y,Z', OX'Y'Z’. Deux systèmes consécntifS ayant un axe commun, on passera de l’un à l’autre par les formules dé transformation employées en Géométrie plane (n* 50). On a ainsi, par des transformaiions successives,

x = x,cosJ/ — y,sin4', y,= ÿ,cosô — a^sinô, a;, = a^cos<p — y'sin V =x,sin6-|-ÿ,cos({/, z =y,sin6 + z'cos0, y, = a/ si no -h y- cos

L’éliminalion des quantités auxiliaires a-,, y,, y, donne

a:=a:'(cos9costj/ — sin9siuôcos0)-i-y'(— sin^cost}» — cos(psiDit/co8Ô)+z'siDil y = x''(cos9si ruj<+5in(pcosJ/cos6)-+-y'(— sin©sini|H-cos<ficos4'COs6)-l-z'(— c z=a/sin9sin6-Hy'cos9sin9-i-z' cosO .

Telles sont les formules connues sous le nom de formules d'EcLsn.

La comparaison de ces formules, avec les formules (3) du n> il ( , conduit aux relations suivantes :

a = cosocosi — sin9sint]^cos6, b =cos9sinJ/ + sin9cos<]^cosÔ, c =siu9sin0;

a''= — sin© cost}/ — COS9 sin | cosô,

(il) ( 1/ =. — sin9sint[/H-cos9cosicüs6,

J d = cos9siu6;

I a''=sinAsin9,

I &"=— cos(j/sinÔ, l c"=cosô;

d’où tango = tangtl/ = -p-

414 — Keharquk. Lorsqu'un corps tourne autour d'un axe fixe, la rotation peut s'eiïectucr dans deux sens dilférenis qu’il importe de distinguer. Considérons, par exemple, une rotation autour de l’axe OZ; en vertu de celle rotation un rayon OA, perpendiculaire è OZet mobile autour du poinl

O, tournera dans le plan XOY (Gg. 255). Imaginons qu’un observateur soit

placé sur l'axe OZ, les pieds en O, la tête en Z; cet observateur verra le rayon mobile OA tourner, soit de gauche iidroite, soit de droite à gauche, eu passant derant lui; on dira que la rotation est directe pour l'observateur dans le premier cas, inverse dans le second cas. Dans la Ggure, la rotation est directe, si OA tourne de OX vers OY dans le sens indiqué par la flèche; elle est inverse, si OA

tourne en sens contraire.

Deux systèmes d’axes rectangulaires OXYZ, OX'Y'Z', ne sont pas tou* jours susceptibles de coïncider. Pour le reconnaître, imaginons deux observateurs placés l’un sur OZ, l'autre sur OZ'; le premier observant la rotation de OX vers OY, le second celle de OX' vers OY'; si les deux rotations s’eflectuert dans le même sens, par exemple dans le sens direct, comme cela a lieu dans la Ggure, les deux systèmes d’axes peuvent coïncider. En elTet, si l'on place OZ sur OZ', et si l'on fait tourner autour de l'axe commun, de manière à amener OX sur OX', nécessairement OY coïncidera avec OY'; car OY et OY' forment tous deux un angle droit avec OX ou OX' dans le même sens. Mais si les deux rotations étaient de sens contraires, aprè.s avoir fait coïncider OZ avec OZ', OX avec OX', on verrait OY se placer, non plus sur OY', mais sur son prolongement.

Dans les formules d'Euler, on suppose que les deux systèmes d'axes rectangulaires offrent la même disposition, c'est-è-dire sont susceptibles de coïncider. On a amené le système primitif sur le système nouveau, par trois rotations directes. L’angle >|< de la rotation autour de OZ varie de 0 à 2;;; l'angle 6 de la rotation autour de OA est compris entre 0 et n, pourvu que sur l’interscciion des plans XOY et X'OY'on choisisse convenablement la direction O.A; la rotation ç autour de OZ' varie de 0 à 2r:.

41 S — Forulles générales. Lorsqu’on change à la fois l’origine et la direction des axes, en menant par la nouyelle origine CF, dont les coordonnées relativement à l’ancien système sont a, b, c, trois axes OX„ OY,, OZ„ parallèles aux premiers et de même directiou, on a « = 0-4- ÿ — b-^-y^, z — c-hz^; ensuite, «j, z, s’expriment en a/, y', z' par l’un des groupes d’équations écrites précédemment; il suffit donc, pour avoir les formules générales, de remplacer dans ces équations «, y, z respeclivement par x — o, y — b, z — r.