CLASSIFICATION DES SURFACES

410 — On distingue les surfaces, comme les lignes, en surfaces algébriques et surfaces transcendantes, suivant que leurs équations sont elles-mêmes algébriques ou transcendantes. Quand l’équation est algébrique, elle peut toujours se ramener à la forme entière, et une transformation d’axes rectilignes ne change pas son degré. Le nombre qui exprime ce degré sert à classer les surfaces en ordres; ainsi, on dit qu’une surface est du premier, du second, du troisième ordre, etc., lorsque son équation est du premier, du second, du troisième degré, etc.

Pour que l’équation f {x, y, z) = o, algébrique et entière du degré m, représente réellement une surface de l’ordre m, il faut que son premier membre ne puisse pas se décomposer en un produit de deux fonctions entières, ou qu’elle soit irréductible. Deux équations irréductibles distinctes représentent deux surfaces qui peuvent avoir une ou plusieurs lignes communes, mais ces surfaces n’ont jamais d’éléments superficiels commuas; car pour avoir des solutions communes aux deux équations, on ne peut pas prendre arbitrairement, même entre des limites très-resserrées, deux des variables.

Un plan coupe une surface algébrique de l’ordre m suivant une ligne algébrique dont l’ordre ne peut dépasser m; en effet, si l’on rapporte cette surface à un système de trois plans coordonnés, dont fasse partie celui que l’on considère, on obtient l’équation de la ligne d’intersection, par rapport à deux des axes coordonnés, en remplaçant dans l’équation de la surface l’une des coordonnées par zéro; le polynôme à deux variables qui en résulte ne peut évidemment être d’un degré supérieur à m. Une ligne droite rencontre une surface de l’ordre m en m points au plus, ou bien elle est située tout entière sur la surface.

Une surface du premier ordre, étant coupée par un plan quelconque suivant une ligne droite, est un plan.

SECTION d’une surface PAR UN PLAN.

41T — Supposons d’abord que le jdan passe par l’origine;

on déterminera sa position par l’angle que fait avec OX sa

irace OX' sur le plan XOY, et par l’angle 6 que fait avec OZ la normale OZ' à ce plan (fig. 256). Par le point O menons dans le plan une droite OY' perpendiculaire à OX'; nous rapporterons la courbe d’intersection aux deux axes rectangulaires OX' et OY' situés dans son i>lan. Supposons d’abord que l’on fasse tourner les axes primitifs autour de OZ d’un angle <{< pour amener OX sur OX'; OY prendra dans le plan XOY une position OY, perpendiculaire à OX'; la coordonnée 2 ne change pas, et l’on a

j: = æ' cos — y, sin tj;, y = x' sin -I- y, cosi{/.

Les quatre droites OY„ OY', OZ, OZ', perpendiculaires à OX', sont dans un même plan perpendiculaire a cette droite; faisons tourner le second système d’axes autour de OX' de l’angle 6 pour amener OY, sur OY', et par suite OZ sur OZ'; la coordonnée ne change pas, et l’on a

y, = y'cosO — 2'sin0, 2 = y'sin9-f-2'cos9.

Si l’on considère un point situé dans le plan X'OY', la coordonnée z' étant nulle, les dernières formules se réduisent à y, = y' cos 9, 2 = y' sin 9 et l’on a ainsi

Ix = a;'cosij/ — y'sim|/cos9, y = a/sim]^4-y'cosi cos9,

Z = y' sin 9.

On peut déduire ces formules de celles d’Euler en y faisant (p=o et z' = o. Si le plan sécant défini de la même manière quant à sa direction, au lieu d’être mené par l’origine, passait en un point ayant pour coordonnées a, h, c, dans les formules précédentes on mettrait x — a, y — h, z — c à la place de X, y, 2.