CHAPITRE III

Du plan e< de la ligne droUe.

DU PLAN

CONSTRUCTION DE t’ÉQUATlON DU PREMIER DEGRÉ.

480— L'équation générale du premier degré entre les variables x, y, z est

(i) Aar + By-t-Cz + D = o.

Nous avons vu (n®4i6) que cette équation représente un planj mais il est bon de démontrer directement cette proposition. L'éqüation renferme trois paramètres arbitraires qui sont les rapports de trois des quantités A, B, C, D à la quatrième. D’abord, si deux des coefficients A, B, C sont nuis, l’équation se réduit à la forme

Cz-t-D = o, ou z= — 5;

elle représente un plan qui est parallèle au plan XOY, et qui

coupe l’axe des z à une distance — ç l’origine (n“ 4o3). Si

un seul des coefficients des variables, par exemple C, est nul, on a l’équation

Aa:-i-Bÿ-t-D = o,

qui représente, dans le plan XOY une droite, et dans l’espace un plan parallèle à OZ et mené par cette droite.

Supposons, enfin, qu'aucun des coefficients des variables ne soit nul. On obtient les traces de la surface sur les trois plans

LIVKE V, CHAPITRE III.

coordonnés XOY, YOZ, ZOX, en faisant dans Péquation proposée z = 'o, ou x = o, ou y = o, ce qui donne trois droites PQ. QRj RP (fig. 258), ayant pour équations

Aa;-|-By + D = o, By-|-Cz-|-D = o, Aa:-[-C2-l-D = o.

Coupons les surfaces par un plan z = c, parallèle au plan XOY ; la projection de l’intersection sur le plan XOY a pour équation

Ax + By 4- Ce + D = o;

c’est une droite G'H' parallèle à PQ. L’intersection elle-même, étant la ligne suivant laquelle le plan z — c, parallèle à XOY,

rencontre le plan projetant mené par G' H', est une droite GH parallèle à G'H^ et, par conséquent, parallèle à PQ.

D’ailleurs, la droite GH rencontre la droite PR au point G. On peut donc regarder la surface comme décrite par une Fig.i58. droite GH, qui se meut

parallèlement à la droite PQ, en s’appuyant constamment sur une autre droite PR; donc la surface est un plan.

431 — Réciproquement, tout plan est représenté par une équation du premier degré entre les variables x, y, z. Car lorsque le plan est parallèle à l’un des plans coordonnés, XOY par exemple, si l’on appelle c la coordonnée z du point où il rencontre l’axe OZ, son équation est z = c. En second lieu, si le plan est seulement parallèle à l’un des axes, OZ par exemple, sa trace sur le plan XOY a une équation de la forme Ax-t-By-H D = o; celle-ci représente, dans l’espace, le plan donné.

Enfin, supposons que le plan ne soit parallèle à aucun des axes; soient

zz=ax-\-';, z = 6y-HY

les équations de ses traces PR et QR sur les plans XOZ et YOZ.

DU PLAN

On peut disposer des coefficients de l’équation (i) AvC -H By — 1— Ciî D '

de manière que le plan qu’elle représente coïncide avec le plan proposé. En effet, les traces du plan représenté par l’équation (i) sur les plans XOZ et YOZ ont pour équations