ANGLE DG DEUX PLANS

42Ï'— Soient Ao;-l-By-l-Cz-4-D=o, A'x-|-B'y-f-C's-l-D'=o les équations des deux plans. L’angle cherché est égal à l’angle des normales menées de l’origine aux deux plans donnés. Désignons par g, p, y les angles que fail avec les axes la première

DU PLAN

normale, par a!, p, y les angles de la seconde normale, et par V l’angle clierché. Les axes étant supposés rectangulaires, on a (n» 407)

cosV = cos a cos a' -t- cos P cos^'-t- cosy cosy^ ; d’où, en vertu des formules (7),

(8) cosV = ± A^-j-BB-l-CC^

Va* + B*4-C* VÂ'* + B'* -I- C'«

Pour que les deux plans soient perpendiculaires entre eux, il est nécessaire et il suffit que l’on ait

(9) AA'+BB' + CC' = o.

DISTANCE d’cN POINT A LN PLAN.

428— Quand nous avons cherché les angles que la normale OL au plan Aæh- By-t- Cs-t-D = 0 fait avec les axes (n“42fi)j nous avons désigné i>ar l la longueur de cette normale, et nous avons trouvé les rapports égaux

l cos g cos P cosy ± i

ü~ A ~ B Ü VA’+B‘-+-C‘

11 en résulte

VA’-t-B* + C’

Cette formule donne la distance de l’origine au plan en coordonnées rectangulaires.

11 est facile d’en déduire la distance d’un point quelconque M ayant pour coordonnées y,, Si l’on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes au point M, l’éciuation du plan devient

\x' Bj/ — t— C — |— (Ax, -f- B y, -f- Cs?, -t— D) o.

En vertu de la formule (10), la distance du point M au plan a pour expression

hi) t ~ (Aæ, + Bÿ,-+-Cz,-t- D)

VA* -h B* -K C’

Si, dans l’équation du plan, on remplace les coefficients par les quantités proportionnelles données par les formules (6], l’équation prend la forme

(12) x cos a 4- y cos P -t- Z cos Y — l = o.

Le premier membre, dans lequel on regarde x, y, z comme les coordonnées d’un point quelconque de l’espace, exprime la distance de ce point au plan, affectée du signe + ou du signe — , suivant que le point et l'origine sont situés de part et d’autre du plan, ou du même côté.

PROJECTIONS d’une DROITE.

4»9-La manière la plus simple de définir une droite dans l’espace est de la considérer comme l’intersection de deux plans. Une droite sera donc représentée par le système de deux équations du premier degré

Aa;-+-By-t-Cz4-D = o, A'x-t-B'y-+-C'z4-iy = o.

Si l’on élimine y ou a; entre les deux équations, on obtiendra deux équations de la forme

(1) x = az-+-p, y = bz-hq;

ce sont les équations des plans qui projettent la droite sur le plan XOZ ou sur le plan YOZ. On peut aussi considérer chacune de ces équations comme étant celle de la projection elle-même dans son plan.

Si, dans les équations (1), on fait z = o, on obtient les coor-* données x = p, y=^q de la trace de la droite sur le plan XOY.

Quand deux droites sont parallèles, leurs projections étant respectivement parallèles, les coefficients angulaires o et f» sont les mêmes dans les équations de ces droites.

Les équations générales d'une droite renferment quatre paramètres arbitraires a, b, p, q.

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ÜE LA LIGNE DHOITE.

K^l'ATION UÉNÉRALE DES DROITES Qtl PASSENT PAR l'N POINT DONNÉ.

430 — Pour qu’une droite

(i) x = az-hp, y = bz-^q

passe par un point donné M, ayant pour coordonnées x', y', z', il faut que les coordonnées de ce point vériflent les deux équations de la droite, ce qui donne deux relations x' = az' -i-p, y' =z bzf -h q, servant à déterminer deux des paramètres, par exemple p et q. En remplaçant p et g par leurs valeurs, on obtient les équations

dans lesquelles les deux paramètres a et b sont arbitraires, et qui représentent toutes les droites passant par le point donné.