CONDITION POUR QUE DEUX DROITES SE RENCONTRENT

433 — Deux droites placées arbitrairement dans l’espace ne se rencontrent pas en général; pour qu’elles se rencontrent, il faut que leurs équations

I x — az-hp, J x = a'z~hp',

I y=bz-hq, I y=b'z~hq', soient satisfaites par un même système de valeurs de x, y, z; ceci n’aura lieu que si la condition

obtenue par l’élimination de x, y, z, est remplie.

ÉQUATION GÉNÉRALE DES PLANS QUI PASSENT PAR LA DROITE d’intersection de deux PLANS DONNÉS.

4341— Soient Ax-(-By4-Ca+D=o, A'aH-B'y-4-C'a-(-D'=o les équations de deux plans; l’équation (8) (A x -1- Bÿ + Cz + D) — A (A' J5 -h B'y -H C'z + D') = o, dans laquelle le paramètre k est arbitraire, représentera tous les plans qui passent par la droite d’intersection des deux premiers plans. Il est évident d’abord (]ue, quelle que soit la valeur attribuée au paramètre k, le plan représenté par l’équation l8) passera par la droite d’intersection des plans donnés; car cette équation est vérifiée par les coordonnées de cbacun des points communs aux deux plans. On voit ensuite que l’équation (8) représente tous les plans qui [lassent par la droite d’intersection des deux plans donnés; car l’un quelconque de ces plans est défini par la droite d’intersection, et un point (a/, y' z') pris arbitrairement dans l’espace; or, on peut déterminer le paramètre k, de manière que le plan (8) passe par ce point, ce qui donne la condition

(Ax' 4- By' C s' D) — A- (AV BY + Gz> 4- D') = o, d’où l’on déduit la valeur de A. Le plan cherché a pour équation

. . Ax 4— B// 4“ G Z 4“ D A^x4— B’?/4-G^-4— D’ Aa/4-By' 4-C5'-HD — AV4- B'y'-l-G'i'-t-D''