PAR UNE DROITE MENER UN PLAN PERPE.NDICULAIRE A UN PLAN DONNÉ

4135 — Soient Ax4-By-+-C34-D=o, A'x4-B'y4-C'z4-D'=o, les équations de la droite donnée, A"x4-B"y4-C"z4-D"=o celle du plan donné. Le plan clierché, passant par la droite, a une équation de la forme

(Ax4-By -4-CZ4-D) — A (A'x 4-B'y 4-C'’z 4-D') = 0.

Ce plan sera perpendiculaire au [ilan donné, si la ( ondition A" (A — A AO 4- B” (B — AB’) 4- C" (C — A CO = O est vérifiée (u® 427), les axes étant supposés nctaugulaires; on en déduit

3‘JO LIVRE V, CHAPITRE lll.

et le plan cherché a pour équation

( lo) (A'A"+FB'’+C'C")(Aa:4-By4-Cz+D)=(A''A4-B"B-l-C"C)(A'a;-l-B/ÿ+C':

Les trois plans donnés forment un angle trièdre; par l’une des arêtes nous avons mené un plan perpendiculaire à la face opposée. Les plans menés par chacune des autres arêtes perpendiculairement à la face opposée ont de même pour équations

(A"A-f-B"B-^C"C)(A'a:-l-B'y-+-C'3-l-iy)=(AA'-f-BB'+CC)(A"Æ-»-B''y-l-C'z+

(A.V-i-BB'-+-CCO(A''a:-t-B''y-+-C"z-KD'')=(A'A''-FB'B''-i-C'C")(Aa:-i-By-l-(>i

En ajoutant les deux premières équations membre à membre^ on trouve la troisième; on en conclut que les trois plans passent par une même droite.

ANGLES d’L’NE DROITE AVEC LES AXES.

430 — Dans les questions relatives à la ligne droite, que nous avons traitées jusqu’à présent, excepté dans la question précédente, nous n’avons fait aucune hypothèse sur les coordonnées; dans tout ce qui suit, nous supposerons les coordonnées rectangulaires.

Soient a: = oz -t-p, y = bz-\-q les équations d’une droite.

La parallèle OL menée par l’origine (flg. 260) aura pour équations

x = az, y = bz.

- Désignons par a, p, y les angles que fait la droite OL avec tes axes. Prenons sur cette droite un point M, î’>g-260- situé à une distance l de l’origine.

Les coordonnées x, y, z du point M étant les projections orthogonales de la droite OM sur les axes, on a

a: = 1 cosa, y = / cos p, z = I cosy.

Si l’on substitue ces valeurs dans les équations de la droite OL, il vient

cosa = acosY, cosp = 6cosY,

et, par suite, (II)

cosa cos fi cos Y ±i .

Le double signe se rapporte aux deux directions de la droite.

PAR CI» POINT MENER ÜNE DROITE QUI FASSE AVEC LES AXES DES ANGLES DONNÉS.

437 — Proposons-nous de mener par le point M', dont les coordonnées sont x', y', z', une droite qui fasse avec les axes des coordonnées rectangulaires les angles a, y. La droite cherchée est représentée par des équations de la forme

mais on a

cosa . cos B

cos Y cos Y

on en déduit

' cosa cos fi cos Y

On peut obtenir directement ces équations; si l’on désigne par X, y, z les coordonnées d’un point quelconque M de la droite, et par p la distance M'M, les différences x — acf, y — y', z — z' sont les projections de la longueur M'M sur les axes des coordonnées. D’un autre côté, si la longueur M'M est comptée à partir du point dans la direction qui fait avec les axes les angles a, p, y» ces projections sont égales à pcosa, p cosp, P cosy; si la longueur M'M est comptée dans la direction opposée, ces projections sont égales à — p cosa, — p cosp, — cosy. On a donc, dans tous les cas,

X — a/=pcosa, y — y' = pcosp, 3 — :' = pcosy,

X — a/ y — »/ 3 — il

ou — - — = = p,

cosa cosp cosy

en convenant de regarder la longueur p comme positive ou négative, suivant qu’elle est parcourue dans la première direction ou dans la direction opposée.

LIVHK V, CHAPITRE III.