CHAPITRE III

De l’homogénéité.

39 — DÉFINITIONS.— On dit qu’une fonction f (a, b, c, ...) est homogène, par rapport aux lettres a, b, c, ... lorsque, en remplaçant a par ka, b par kb, . . . , on a

f(ka, kb, kc, ...) = k'^f(a, b, c,...};

l'exposant m est le degré de la fonction homogène.

Telles sont, par exemple, les fonctions

a*-t- 2CÔ,

a\}b-i-b yJc sin a

a-hyjab

a-hc

le degré de la première est 2, celui de la seconde celui de la troisième o, et celui de la quatrième — 2.

On voit aisément :

I” Que la somme ou la différence de deux fonctions homogènes du même degré est une fonction homogène du même degré que les fonctions proposées ;

2° Que le produit de plusieurs fonctions homogènes de degrés quelconques est une fonction homogène dont le degré est égal à la somme des degrés des fonctions proposées;

3° Que le quotient de deux fonctions homogènes est une fonction homogène dont le degré est égal à l’excès du degré du dividende sur le degré du diviseur; '

4“ Que la puissance d’une fonction homogène est une fonction homogène dont le degré est égal au degré de la fonction proposée multiplié par l’indice de la puissance;

5” Que la racine d’une fonction homogène est une fonction homogène dont le degré est égal au degré de la fonction proposée divisé par l’indice de la racine;

6“ Qu’une fonction transcendante d’une fonction homogène de degré o est elle-même homogène et de degré o. Par exemple, les fonctions

sin

log

ti -t- b J

sont homogènes et de degré o; car si on remplace a et b par ka et kb, la lettre k disparaît sous le signe transcendant, et on peut mettre en avant le facteur k°. Mais si la quantité placée sous le signe transcendant, quoique homogène, n’était pas du degré o, la lettre k ne pourrait se mettre en facteur en avant du signe transcendant et la fonction ne serait pas homogène. Ainsi la fonction s'\n {a -\-\lbc) n’est pas homogène.

Lorsqu’un monôme est rationnel et entier par rapport aux lettres a, b, c, ..., on appelle degré du monôme, par rapport à une lettre, l’exposant de cette lettre dans le monôme; degré du monôme, par rapport à plusieurs lettres, la somme des exposants de ces lettres. Un monôme est toujours une fonction homogène d’un degré égal au degré du mônome : donc la somme de plusieurs monômes de même degré est un polynôme homogène de ce même degré. Par exemple, le polynôme

a’ — ^a^b -t- Sut* —

est une f'onclion homogène du troisième degré, par rapport aux lettres a et 6.

40 — Lorsqu’on cherche les relations qui existent entre les longueurs des diverses lignes A, B, C, ... d’une figure, on imagine ces lignes rapportées à une unité de longueur, qui ordinairement n’est pas spécifiée et reste tout à fait arbitraire. Désignons par les lettres a, b, c, ... tes nombres qui expriment ainsi les mesures des lignes de la figure, et supposons que l’on ait trouvé entre ces nombres la relation

Les raisonnements que l’on a faits pour arriver à cette relation étant indépendants de l’unité de longueur, il est évident que celte relation doit subsister, quelle que soit cette unité. Appelons a, P, Y, . . . les valeurs particulières de a, b, c, ... pour une première unité; af, les valeurs de ces mêmes

quantités pour une autre unité; ces deux séries de nombres vérifient les relations

(2) /■(«, fi, •••)=0,

(3) f{CL', 'f,...)=^o.

Mais quand ou change l’unité, les nombres varient proportionnellement, de sorte que, si l’on désigne par k le rapport de la première unité à ta seconde, on a

.a fl y

d’où yj = kci, p'=kp, •'/=A'y,

Si l’on substitue dans la relation (3), il vient (4) f{kx, kp, ky,...) — o.

Concevons que la première unité restant fixe, la seconde varie, ï, f-, y,... seront des nombres constants, k un nombre arbitraire, et l’équation (4) devra être vérifiée quel que soit ce nombre k.

Ainsi : $i l’équation (i) est vérifiée quand on y remplace les ttllres a, b, c, . . . par les nombres a, p, y,... elle sera aussi tirifiée quand on y remplacera ces mêmes lettres par ka, k[4, liT, ... quel que soit le nombre k.

41 — La condition précédente est évidemment remplie lorsque le premier membre de l’équation (i) est une fonction homogène des lettres a, b, C) car, alors on a

f(kcc, kp, ky,...) = k"'f{ix, p, y,..);

si l’expression f(x, p, y,...) est nulle, il en sera de même de f(kx, kp, ky,...), quel que soit k.

Nous allons démontrer que, réciproquement, l’homogénéité est nécessaire, en nous bornant aux équations algébriques mises sous forme entière.

Supposons que f(a,b,c,...) soit un polynôme entier; si tous les termes ne sont pas du même degré, groupons les termes dont le degré est le même; appelons ç [a, b,c, .. .) l’ensemble des termes du degré le plus élevé m, (j/ (o> b,c,.. .) l’ensemble des termes du degré n, etc., l’équation (4) devient

Pour que cette équation soit vérifiée, quel que soit k, il est nécessaire que l’on ait séparément

Comme l’unité à laquelle se rapportent les nombres a, p, y,... est arbitraire, on a entre les ligues de la figure les relations homogènes

Donc, si l'équation (i) nest pas homogène, elle équivaut à plusieurs équations homogènes séparément.

418— Cependant il peut arriver qu’une équation non homogène soit vérifiée, quand on fait choix d’une unité particulière, sans que les parties qui la composent soient nulles séparément; mais alors, si l’on change l’unité, l’équation cesse d’être vérifiée.

Expliquons ceci par un exemple.

Proposons-nous de déterminer les dimensions d’un cylindre de telle sorte que sa surface soit équivalente à celle d’une sphère de rayon donné A et sou volume à celui d’une sphère de rayon B.

DE L’HOMÜGÉNÉITÉ.

Soit X le rayon et Y la hauteur du cylindre; appelons a, b, X, y les mesures des lignes A, B, X, Y, rapportées à une unité quelconque; les inconnues devront satisfaire aux deux équations

(5) x'+xy — 2a’ = o,

Chacune de ces équations est homogène : l’une est du second üegré, l’autre du troisième. Si elles sont vérifiées quand on rapporte les lignes à une certaine unités il en sera de même quand on les rapportera à une autre unité.

Les inconnues a; et y doivent également satisfaire à l’équalioQ non homogène

(7) (x=-+-xÿ — + — |6’^ = o,

que l’on obtient en ajoutant les précédentes membre à membre.

Considérons l’équation (7), abstraction faite de son origine. On peut trouver quatre lignes A, B, X, Y, telles que, si on les mesure avec une unité particulière, les nombres obtenus vérilient celte équation sans annuler séparément les deux parties. Supposons, par exemple, que les lignes rapportées à une première unité aient pour mesure les quatre nombres a = i, i = 3, x = i, i/ = i8,5, dont trois ont été pris arbitrairement et le quatrième déterminé ensuite par l’équation (7); si on mesure les mêmes lignes avec une unité deux fois plus petite, on obtient les nombres a = 2, 6 = 6, æ = 2, y = 37 qui ne satisfont plus à l’équation. Le cylindre construit avec les lignes X et Y ainsi déterminées jouit de celte propriété que la somme Jes nombres qui, avec l’unitc choisie, expriment les mesures (le sa surface et de son volume, est égale à la somme des nombres qui expriment les mesures de la surface d’une sphère et du volume d’une autre sphère; mais la même relation n’a plus lieu quand l’unité linéaire change.

L’équation (7) ne peut être vérifiée par les mesures des mêmes lignes, quand on fait varier arbitrairement l’unité de longueur, qu’aulant que ces lignes satisfont aux équations (5) cl (6) prises isolément.