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Dans la résolution des problèmes de géométrie, on ne fait jamais de combinaisons d’équations analogues à la précédente. Les équations que donnent immédiatement les théorèmes de la géométrie élémentaire sont homogènes; et, quand on ajoute deux équations membre à membre, c’est aün d’obtenir une nouvelle équation plus simple que l’une des proposées; pour cela, il faut d’abord que les équations que l’on ajoute soient du même degré. Le principe de l’homogénéité pourra donc servir à chaque instant à vérifier les transformations algébriques effectuées.

43— Lorsqu’on prend pour unité de longueur une des lignes de la figure, les équations cessent d’être homogènes; mais il est facile de rétablir l’homogénéité. Soit

l’équation à laquelle on arrive quand on prend pour unité la ligne A; les lettres b', d, ... désignent les mesures des lignes B, C, . . . rapportées à A. Laissons l’unité arbitraire et appelons O, b, c, ... les mesures des ligues A, B, C, . . . ; on a

d'où 6' = -> =

et l’équation (8) se transforme dans la suivante

qui est homogène.

Ainsi, par exemple, si l’on rapporte les côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle à l’hypoténuse de ce triangle prise pour unité, les mesures des côtés vérifient l’équation non homogène

de laquelle on déduit l’équation homogène 6’ c’

— = i ou ô*-t-c-=ü’, a’ a*

en remplaçant b' par ^ et par

Les courbes, ellipse, hyperbole, parabole, cissoïde, etc., étudiées dans le chapitre précédent, sont représentées par des équations homogènes. Une équation homogène quelconque

entre les coordonnées variables x cl y d’un point du plan et les longueurs a, b, c, ... de diverses droites données, détermine une courbe, dont la position et les dimensions sont indépendantes de Tunité avec laquelle on mesure les lignes. Considérons au contraire une équation numérique entre x et y,

c’est-à-dire une équation ne renfermant pas d’autres lettres que X et y, et supposons cette équation non homogène. Pour représenter par des points du plan les solutions réelles de celte équation, il faut commencer par choisir arbitrairement une eclielle ou la droite que l’on prendra jiour unité. Quand l’édielle varie, la courbe ne reste plus la même; nous verrons plus tard que les diverses coubes ainsi obtenues ont des analogies remarquables; ce sont des courbes homolhéliques.

44— Remarqi'e I. Il arrive souvent que l’on considère dans une même question des nombres qui expriment des mesures de lignes, de surfaces et de volumes; les unités de surface et de volume restent, comme l’unité de ligne, indéterminées; mais on suppose habituellement qu’il existe entre elles cette relation, que runilé de surface est le carré construit sur ruiiilé de longueur, et l’unité de volume le cube construit sur la même droite. Dans ce cas, pour vérifier riiomogénéilé d’une relation dans laquelle certaines lettres, S et V, désignent la mesure d’une surface ou d’un volume, on remplacera ces lettres par p’ et y®, en désignant par p et q les côtés du carré ou du cube équivalents à la surface ou au volume considéré; de cette manière l’équation ne contiendra plus que des lignes, itn peut aussi se dispenser de faire celte substitution, et alors, dans l’évaluation du degré de chaque terme, on double l’exposant des lettres qui désignent des surfaces, et on triple ceux des lettres qui désignent des volumes.

REM.tRycE II. En général, lorsque des angles entrent dans

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36 LlVHb: l, CHAPITRE III.

un calcul, ces angles sont rapportés à une unité complètement déterminée et leurs mesures sont des nombres fixes. Pour, évaluer un angle, on décrit de son sommet comme centre avec un rayon arbitraire un arc de cercle et on prend le rapport de cet arc au rayon, ce qui revient à prendre pour unité d’angle celui dans lequel l’arc est égal au rayon. Les fonctions trigonométriques des angles sont également des nombres. Dans l’application du principe de l’homogénéité, on fera donc abstraction des lettres qui désignent des angles ou leurs fonctions trigonométriques.