PLUS COURTE DISTANCE DE DEUX DROITES

44y — Soient x = az-{-p, y = 6z-t-g les équations delà première droite AB, x = a'z-{-p', y = Vz-\-q[ celles de la

droite CD (ûg. 262). On sait que la perpendiculaire commune MN à ces deux droites mesure leur plus courte distance. On sait aussi que la longueur l de cette perpendiculaire commune MN est égale à la distance dTm point quelconque de la droite CD au plan P mené par la droite AB parallèlement à CD. Cherchons d V hord Téquation du plan P; tout plan mené par la droite AB a une équation de la forme

{x — az — p) — k {y — bz — q) — o; ce plan sera parallèle à CD, si la condition (n° 432) a' — kb' — {a — kb] — o d o!

est remplie; on en déduit A = ^ » et, par suite, le plan P

a pour équation

(23) (6 — 6') (x — az — p) — (0 — aO (y — bz — q)= o.

La distance à ce plan d"un point quelconque de la droite CD, par exemple du point (p', q', 0'), où elle perce le plan XOY, a pour expression (n° 428)

(24) l—± ~ iP—P') — (« — «0 (Q —

V(o — a')‘ -t- (6 — b')* 4- (ab' — ba')*

Telle est la plus courte distance des deux droites données.

44»— Si l’on demandait les équations de la perpendicu^ laire commune MN, il faudrait, par chacune des droites données AB, CD, mener un plan perpendiculaire au plan P; ces deux plans, par leur intersection, détermineraient la droite MN. Un plan (x — az—p) — k(y — bz — q) = o^ mené parla droite AB, sera perpendiculaire au plan P représenté par l’équation (23), si la condition (n° 427)

(6 -(»')-+- fc (a — aO ~(a — kb) [ab’ — ha') — o

est vérifiée ; on en déduit la valeur de k, et le plan cherché a pour équation

(25) (a — a') {x — az —p) -t- (6 — b') (y — bz — q)

-h(aV — ba') [6{x — p) — a[y — q)]=o.

Le plan mené par la droite CD, perpendiculairement au plan P, a de même pour équation

Les deux équations simultanées (25) et (26) représentent la perpendiculaire commune MN.