SPHÈRE

440— La surface de la sphère, étant le lieu des points distants du centre d’une quantité constante égale au rayon, a pour équation, en coordonnées rectangulaires,

(x — ay +{y — by -H (s — c)’ = r*.

Si, à l’équation d’une sphère, on joint celle d’un plan, on aura les équations de la ligne d’intersection, c’est-à-dire d’un cercle dans l'espace.

EXERCICES

Étant donnés nn système de trois axes rectangulaires et un point sur chacun des axes ; trouver en fonction des coordonnées des trois points, les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle qui aurait pour sommets les trois points, 2° les coordonnées du centre du cercle inscrit dans te même triangle.

2° Étant donnée une conique, trouver dans l'espace le lieu des points tels que la distance de chacun d'eux k l'un quelconque des points de la conique suit une fonction rationnelle des coordonnées du point de la conique.

La distance est aussi une fonction rationnelle des coordonnées du point cherché.

Si l'on joint deux points fixes du lieu è un point quelconque de la conique, la somme ou la différence des distances est constante.

3* Démontrer que, si par chacune des arêtes d’un angle triëdre et la bissectrice de la face opposée, on fait passer un pian, les trois plans ainsi obtenus se coupent suivant une même droite.

ÜVRE V, CHAPITRE IV.

4* Étant donnés un trièdre et une droite passant par son sominet, par la droite Gxe et chacune des arêtes on fait passer un plan qui partage la face opposée en deux angles; démontrer que le produit des sinus de trois segments non consécutifs est égal au produit des trois autres. (Kéciproque )

5" Étant donné un trièdre, par le sommet on mène un plan quelconque qui détermine sur chaque face deux segments; démontrer que le produit des sinus de trois segments non consécutifs est égal et de signe contraire au produit des trois autres. (Réciproque.)

6* Trouver l’aire d'un triangle en fonction des coordonnées des sommets, les axes étant rectangulaires.

7* Trouver le volume d'un tétraèdre ayant l'un de ses sommets à l'origine en fonction des coordonnées des trois autres sommets.

8* Démontrer que les trois droites qui joignent les milieux des cètés opposés d’un tétraèdre passent par un même point.

9* Trouver l'équation d'un plan mené par un point de l’axe des t perperpcndiculairement !i cet axe, les coordonnées étant obliques.

Application à la détermination du centre d'une sphère donnée par son équation en coordonnées obliques, au moyen de plans perpendiculaires aux axes.

t0“ Les six plans des cercles d’intersection de quatre sphères prises deux 11 deux se coupent en un même point.