CHAPITRE IV

Génération des oorfaceo.

450— On définit quelquefois une surface par une propriété commune à chacun de ses points; dans ce cas, on obtient l’équation de la surface en traduisant analyti(|tiement celte propriété. Mais, en général, on définit une surface par le mouvement d’une ligne dans l’espace. Soient

les équations d’une ligne renfermant un paramètre arbitraire a; si l’on fait varier a d’une manière continue, la ligne se meut dans l’espace et engendre une surface. On obtiendra l’équation de cette surface en éliminant le paramètre a entre les deux équations de la ligne mobile (n” 98).

Supposons que les équations de la ligne mobile

F(a;, y, z, a, b) = o, F,(rr, y, z, a, 6) = o

renferment deux paramètres variables a et 5, assujettis à vérifler la relation ç (a, b) = o. Un seul de ces paramètres sera arbitraire, et la ligne, dans son mouvement, engendrera encore une surface, dont on obtiendra l’équation en éliminant les deux paramètres a et 6 entre les trois équations précédentes.

En général, si les deux équations d’une ligne mobile renferment n paramètres variables, assujettis à vérifier n — i équations de condition, celte ligne engendrera une surface dont on obtiendra l’équation en éliminant les n paramètres variables entre les deux équations de la ligne et les n — i équations de condition.

On donne le nom de génératrice à la ligne mobile qui engendre la surface. On déflnit ordinairement le mouvement de la génératrice en l'assujettissant à glisser sur certaines lignes fixes, que l’on nomme directrices. Soient

les équations d’une directrice; pour que la génératrice rencontre la directrice, il faut que les quatre équations de ces deux lignes soient vérifiées par un même syslèine de valeurs de X, y, z; si donc, entre ces quatre équations, on élimine x, y, z, on obtiendra une équation de condition entre les paramètres a, b,... que renferment les équations de la génératrice. Chaque directrice donnera ainsi une équation de condition entre les paramètres variables. Ainsi, lorsque les équations de la génératrice renferment n paramètres variables, il faut assujettir cette ligne mobile à glisser sur n — i directrices.

On appelle surfaces réglées les surfaces engendrées par le mouvement d’une ligne droite. Les équations générales d’une ligne droite renfermant quatre paramètres variables, il faut trois directrices pour définir le mouvement d’une ligne droite. Parmi les surfaces réglées, nous étudierons particulièrement les surfaces cylindriques, les surfaces coiiiques et les surfaces conoïdes.

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