SURFACES CYLINDRIQUES

451 — On ajipelle surface cylindrique une surface engendrée par une droite qui se meut en reslanl constamment l>arallèle à elle-même.

La génératrice sera représentée par les équations x = az-hj), y = bz-hq,

dans lesquelles les paramètres a et b sont constants, et les deux paramètres p et q variables. On définira le mouvement de la génératrice, en rassiijetlisant à glisser sur une directrice donnée, ce qui fournira une équation de condition o(p, q) = » entre les deux paramètres variables p et q. On obtiendra l’équation de la surface, en éliminant ces deux paramètres entre les deux équations de la génératrice et l’équation de condition; si l’on remplace dans cette dernière p cl q par leurs valeurs X — az, y — bz, tirées des deux premières, on a l’équation de la surface cylindrique

453 — Plus généralement, la génératrice peut être représentée par les deux équations

ax-hby-hcz->rd = a., a'x -t- y y -^d d' = fi,

dans lesquelles les deux paramètres a et fi sont seuls variables; car chacune de ces équations étant celle d'un plan qui se meut parallèlement à lui-même, la droite d’intersection conserve aussi la même direction. Les deux paramètres a et fJ sont liés par une équation de condition o(a, fS) = o; l’élimination des deux paramètres a et fi donne l’équation de Ig surface cylindrique

{2) <p(«.r-i-èy-f-c 4-c'3H-d') = o.

Réciproquement, toute équation de la forme ('».) ne peut représenter qu’une surface cylindrique. Si l’on pose, en effet,

ax -j— by -t- cz -t- d sc, cd x -H y y -i— c » -f- d' fi ;

l’équation proposée devient o(a, fi) = o; ù tout système de

ÜÉNKIIATKIN DES SURFACES. iO:î

valeurs réelles de a et vérifiant cette équation, correspond une droile ayant une direction déterminée; l’ensemble de ces droites forme une surface cylindrique. Ainsi, l’équation générale des surfaces cylindriques est une, équation quelconque entre deux polynômes du premier degré en x, y, z.

Cependant, il peut arriver (|ue l’équation o(a, li) = o n’admette qu’un nombre fini de solnlions réelles; dans ce cas, l’équation (a) ne représente qu’un nombre limité de droites,

453 — Supposons (|ue la suifacc ait pour directrice une

courbe plane, située dans le plan XOA" (fig. et soit 9 {x, y) = o l’équation de cette courbe rapportée aux axes OX et OY; la trace C de la génératrice (ill

x = az-{-p, y = bz-hq

sur le planXOV a pourcoordon- * nées x=p, yz=q; cette trace devant appartenir à la directrice, on aura l’équation de condition 9 {p> 9) = c, et la surface cylindrique sera représentée par l’équation (;>{x — az, y — bz) = o. On voit que, si la directrice plane est algébrique ( t de l’ordre m, la surface cylindrique est aussi algébrique et de l’ordi e m.

SL'KI'ACES COMQCES.

454— On appelle surface conique une surface engendrée par une droite qui tourne autour d’un point fixe.

Désignons i>ar o’j, z„ les coordonnées du point fixe, c’està-dire du sommet du cône; les équations de la génératrice seront de la forme

fl et à étant deux paramètres variables. On définira le mouvement de la génératrice en l’assujettissant à glisser sur une

•toi

directrice donnée, ce qui fournira une équation de condition ç (a, 6) = O entre les deux paramètres Tariables a et b. En éliminant a et 6 entre cette équation et les deux équations de la génératrice, on obtiendra l’équation de la surface conique

y— ÿo\ s — V

C’est une équation homogène entre les trois différences x —

Réciproquement, toute équation homogène entre les trois différences æ — x„ y — f/„, z — s, ne peut représenter qu’une surface conique. Car on pourra mettre cette équation sous la forme (3); si l’on pose ensuite

réquation proposée devient çp(a, 6) = o; à tout système de valeurs réelles de a et b, satisfaisant à cette équation, correspond une droite passant par le point fixe y,, ; l’ensemble

de ces droites forme une surface coni(]ue.

Cependant, si l’équation o (a, b) = o n’avait qu’un nombre limité de solutions réelles, on n’aurait qu’un nombre limité de droites. Dans le cas où cette équation n’a pas de solutions réelles, il peut arriver que l’équation (3) soit vérifiée par les valeurs ÿ„, z,; alors elle représente un point unique.

Quand on place l’origine des coordonnées au sommet du cône, l’équation de la surface conique se réduit à la forme

C’est une équation homogène entre les trois coordonnées x,

4S5 — Considérons le cas où la directrice est une courbe plane. Prenons le sommet du cône pour origine des coordonnées, et supposons le plan XOY parallèle au plan de la courbe (fig. 264). Soient z=c, (f(x, y)=o les équations de la directrice, x—az, y=bz, celles de la génératrice; la trace de la génératrice sur le plan de la directrice ayant pour coordonnées z=c,

x = M, y = bc, pour que ce point G appartienne à la directrice,

il faut que Féquation de condition f (ac, bc) = O soit vérifiée. En éliminant a et 6 entre cette équation et celles de la génératrice, on obtient l’équation de la surface conique

On voit que, si la directrice plane est algébrique et de l’ordre m, la Fig. 264. surface conique est aussi algébri-

que et de l’ordre ni.

SLRFACE.S COKÜÏUES.

456 — On appelle surface conoïde une surface engendrée par une droite qui se meut en restant constamment parallèle un même plan que l’on nomme plan directeur, et en glissant sur une droite fixe appelée axe du conoïde et sur une seconde directrice quelconque.

Prenons la directrice rectiligne pour axe des z, et supposons le plan XOY parallèle au plan directeur. La génératrice sera représentée par des équations de la forme

La directrice donnera une équation de condition <p (a, fl) = o entre les deux paramètres variables a et fJ. La surface conoïde aura pour équation

437 — Supposons que l’axe OZ soit perpendiculaire au plan directeur (fig. 260), et que la directrice soit un cercle situé dans un plan perpendiculaire au plan directeur. Faisons passer l’axe OX par le centre G du cercle et prenons le plan YOZ parallèle au plan du cercle; ce cercle aura des équations de la forme x—a, jy*4-;’ = r’. Pour que la génératrice GH s’appuie sur le cor-

KHi I.IVHK V, CHAPlTRIi IV.

de, il faut que les paramètres a et [i salisfasseut ù lu relaliuu = Le conoïde est doue représenté par lequatiun (lu quatrième degré a- ÿ- — r-x^ = o. Si l’on coupe la

surface par un plan parallèle au . -H jdan directeur,

'' 1 on obtient évi-

t\- dennnent deux

/ génératrices GH,

Gll'; l’angle de ces deux génératrices diminue à mesure que le plan sécant s’él ig. 2K. lève; enfln, le co-

lloïde se termine par une arête 1)B.

Coupons la surface par un plan EVE' l>arallèle au plan du cercle; ce plan a pour équation x = a' ; la courbe d’intersection a’y’ — a'*r- = o est une ellipse dont le demi-axe

IF est constamment égal à r et dont l’autre axe EE' diminue jusqu’à zéro, quand le |dan sécant se rapproche de l’axe du conoïde.

StnFXCES DE RÉVOLUTION.

458 — On appelle surface de révolution une surface engendrée i»ar la rotation d’une ligne autour d’un axe fixe auquel

elle est invariablement liée.

I ^ Clmijue point M de la généra-

trice décrit un cercle dont le plan est perpendiculaire à l’axe et qui a pour centre le pied P de la perpendiculaire abaissée du point M sur l’axe (tig. 266). Les cercles décrits par les différents points de la génératrice ont été nommés les parallèles de la surface.

I Les sections faites par des plans

28C' (|ni passent par l’axe sont égales

(iÉNKKÂTiON UES SI HFACES. 107

entre elles; ce sont les mériditns de la surface. Ordinaiieiiieut on choisit pour génératrice de la surface une courbe méridienne.

On peut aussi concevoir une surface de révolution comme engendrée par le mouvement d’un cercle, de rayon variable, dont le centre parcourt nue ligne droite, dont le plan reste pet-pendicülaire à celle droite, et qui rencontre la génératrice donnée.

Supposons d’abord (jue l’on prenne l’axe de rotation pour axe des s, les coordonnées étant rectangulaires; un parallèle de la surface sera représenté par des équations de la forme

en exprimant que ce cercle rencontre la génératrice donnée, ou obtiendra une équation de condition <;>{«, fi)=o entre les deux paramètres variables a et (i. Si l’on élimine a et fi entre cette équation et les deux équations du parallèle, on aura ré(iuation

((») O (v'j’-'h.v’, r)=o de la surface de révolution.

4SO — Cherchons, par exemple, réijualion de la surface engendrée par une droite AB, tournant autour d’un axe OZ (fig. 2(>7). Prenons l’axe de rotation pour axe des z, la perpendiculaire commime entre l’axe et la droite AB dans une de ses positions pour axe des y, et une perpendiculaire au plan YOZ pour axe des X. La droite AB, dans cette position particulière, aura pour équations

y = a, x = mz,

a élaiit la j>lus courte distance OA, m Fig. S67. la tangente trigonométrique de l’angle

ZOB' que fait l’axe OZ avec la droite OB' parallèle à AB. Pour (jue le cercle parallèle x--h y‘='-/:‘, z = 'fi rencontre la droite AB, il faut que l’équation do condition a- — que

l’on obtient en éliminant x, y, z cuire les équations de la

droite et celles du cercle, soit vérifiée; l’élimination des deux paramètres variables a et ^ entre cette équation de condition et celles du cercle, donne Téquation de la surface de révolution

Si l’on fait y = o dans cette équation, on obtient la trace de la surface sur le plan XOZ; c’est une hyperbole x’ — ni*z’=a’, ayant son axe transverse OD dirigé suivant OX, et pour asymptotes les droites OB^ et OC' également inclinées de part et d’autre sur OZ. On peut considérer la surface comme engendrée par cette hyperbole méridienne tournant autour de son axe imaginaire. C’est pourquoi on lui a donné le nom à’hyperboloide de révolution à une nappe.

L’équation (7) ne renfermant le coefficient angulaire m (ju’au carré, il est clair que la même surface sera engendrée par les deux droites AB et AC, toutes deux perpendiculaires à OA, et également inclinées de part et d’autre sur la droite AZ' parallèle à OZ.

460— Considérons en particulier le cas où la génératrice est la courbe méridienne; cette courbe, que l’on peut supposer placée dans le plan XOZ, est représentée par les équations y=o, z]=o. Si l'on élimine x, y, z entre ces deux équations et celles du parallèle x- -i- y’ = a’, z = ^, on obtient l'équation de condition (a, fi) = o. L’équation de la surface de révolution est donc

é/{Vx'-+-y‘, 2)= O,

On l’obtient en remplaçant x par \Jx*+y* dans l’équation du méridien.

Par exemple, si la courbe méridienne est l’hyperbole x’ — m^z^—a-, riiyperboloïde de révolution à une nappe aura pour équation x’-hy’ — m’z’ = a’.

Comme second exemple, considérons le tore, c’est-à-dire la surface engendrée par un cercle tournant autour d’un axe situé dans son jdan sans passer par le centre. Si l’on prend pour axe des s l’axe de révolution, et pour axe des x une perpendiculaire abaissée du centre du cercle sur l'axe, l’équation du

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cercle dans le plan des xz étant {x — a)’ 4- z* = surface sera

(Vx* + j/* — a)* 4- Z* = r*.

r*, celle de la

401 — Supposons maintenant que Taxe de rotation OL passe par l’origine^ mais ait une direction quelconque dans l’espace.

30 tJ Si

Soient - =| = - les équations de cette droite. Tout paral-

lèle de la surface sera donné par l’intersection d’une sphère décrite de l’origine comme centre et d’un plan perpendiculaire à l’axe; ce cercle sera donc représenté par deux équations de la forme

Æ*4*y/*4-z*=^ûc*j rz-t— d=p.

Fig. 268. En exprimant que le parallèle rencontre

la génératrice donnée, on aura une équation de condition ç [cl, P) = o entre les deux paramètres variables a et p. L’élimination de ces deux paramètres entre l’équation de condition et les deux équations du cercle conduira à l’équation de la surface de révolution

(8) (Vx*-hÿ’4-z’, ax + by -i- cz d) = o.

C’est une équation entre le polynôme du second degré x*-t- y*-t- z’ et un polynôme quelconque du premier degré.

Réciproquement, toute équation de cette forme représente une surface de révolution autour d’une droite passant par l’origine. Considérons, en effet, la droite OL qui a pour

équations — = ^ et posons

x*-+-y*-Hz* = a% ax4-6y4-cz-+-d = p;

l’équation proposée (8) devient ç (a, P) = o. A tout système de valeurs réelles de a et de p vérifiant cette équation, correspond un cercle donné par l’intersection d’une sphère ayant l’origine pour centre, et d’un plan perpendiculaire à la droite OL; le centre du cercle sera situé sur la droite OL, et le lieu des cercles formera une surface de révolution autour de cette droite.

iin LIVKK V, CHAPITRE IV.

Supposons enfin que Pa\e de rotation ne passe pAs par l’orifiiiie; prenons un point fixe {x„, zj sur cet aso dont les é(]ualions seront

■r~x„ iZll».

Tout parallèle de la surface sera donné par riiilersection d’une sphère {x~x„)--r-{y — //„)*+(: — ayant son centre

au point fixe, et d’un plan ox -\-hy + cz-{- d = '^ perpendiculaire à l’axe, l'écpialion de la surface de révolution sera donc de la forme

(9) o(v'(x — iix-i-b>j~hcz+-d)=o.