PLAN TANGENT

■iOS— Nous connnenccrons par rappeler nn théorème démontré en algèbre; supposons que les lettres a; et y désignent deux fonctions de la variable assujetties à vérifier l’équation

Si l’on représente par .t/ et y' les dérivées de ces deux fonctions par rapport à la variable ces deux dérivées sont liées entre elles par la relation

En effet, quand x et y sont des fonctions quelconques de la variable z, la fonction f (x, y, z) est une fonction composée de cette même variable, et elle admet pour dérivée

Si l’on suppose maintenant que les fonctions x el y vérifient l’équation (i), la fonction f(x, y, z) étant constamment nulle, sa dérivée est aussi constamment nulle, et, par conséquent, les deux quantités x/ et y' vérifient l’équation (2).

403 — Cela posé, considérons la surface représentée par l’équation (i). Soit M un point de cette surface ayant pour coordonnées x, y, z; par le point M traçons sur la surface une courbe quelconque MA (ûg. 269); quand le point M parcourt la courbe, deux des coordonnées x et y peuvent être regardées

(.ÉNKRA'l'lO.N IIES SI'liKACES. 411

curtiine des foiiclionsdc la troisième z; lanatnredcccsfünclions

t dépend de la com be MA tracée sur la sur-

face; mais elles satisfont constamment à / ^ l’éqnation (i), et, par suite, leurs dérivées

/ ' à l’é(|ualion ('>.). Appelons .r,, (/,, 3, les co-

ordonnées d’un second point M, apparleîie73C3. liant à la courbe, et voisin du point M; lu sécante MM, est représentée par les é(|uation8

. Vi ■

les lettres X, Y, Z désignant les coordonnées d’un point quelconque de la droite. Uuand le point M, se rapi)roclie indéfini-

ment du point M, les nipjiorls ^ ont pour limites

les valeurs des dérivées x' et y' des denv fonctions x et y au point M; la tangente MT à la combe au point M est donc représentée par les équations

Ces éciuations renferment deux paramètres variables x' et 1/ assujettis à vérifier l’équation (a). On obtiendra le lieu des tangentes au point M à toutes les courbes tracées sur la surface et passant par ce point, en éliminant ces deux paramètres entre les deux équations de la tangente et l’équation de condition (2). Ce lieu a pour équation

(3) (X -x)fi-+- (Y - y) f;+ (Z ~z)fi = O.

C’est un plan qu’on appelle le plan langent à la surface au point M.

I^a normale à la surface au point M est la perpendiculaire menée par le point M au plan langent à la surface en ce point; ses équations sont