X-x X-yZ~z

c fÿ ~ n '

404— Nous avons démontré qu’en général les tangentes aux diverses courbes tracées sur une surface par un point M

ilî UVRE V, CHAPITRE IV.

sont dans un même plan; il y a cependant des exceptions; c'est lorsque les trois dérivées partielles {^, f'y, /*.' sont nulles au point M; car alors l'éc^uation de condition (2) devient une identité, et pour trouver le lieu des tangentes, il faut recourir à un calcul plus compliqué. Cette circonstance se présente au sommet d’un cône; les tangentes aux diverses courbes tracées sur la surface par ce point sont les arêtes du cône, et le lieu des tangentes est le cône lui-même. Lorsqu’une surface a un point singulier de celte sorte, le lieu des tangentes en ce point, au lieu d'être un plan, est un cône.

405 — Si, par un point M, on trace deux courbes sur la surface, et qu’on mène leurs tangentes, le plan de ces deux droites est le plan tangent. Lorsque par le point M passe une droite située sur la surface, cette droite, étant elle-même sa propre tangente, est comprise dans le plan tangent. Certaines surfaces réglées, parmi lesquelles nous citerons le cylindre et le cône jouissent de cette propriété que le plan tangent est le même pour tous les points d’une même génératrice. Mais ceci n’a pas lieu pour toutes les surfaces réglées; considérons, par exemple, le conoïde dont nous avons trouvé l’équation au n® 457; les sections par des plans parallèles au plan YOZ sont des ellipses dont l’un des axes est constant et l’autre variable; les tangentes à ces diverses ellipses aux points situés sur une même génératrice GH ne sont pas parallèles, et, par conséquent, le plan tangent tourne autour de la génératrice GH quand le point de contact se meut sur cette droite. Par exception, le plan tangent est le même le long de la génératrice DR. En chaque point G de l’axe OZ, il y a deux plans tangents OGH, OGH'.

Nous rappellerons encore que le plan tangent à une surface de révolution est perpendiculaire au plan méridien qui passe par le point de contact, ou, en d’autres termes, que la normale à la surface est contenue dans le plan méridien.

Une courbe dans l’espace étant définie par l’intersection de deux surfaces, sa tangente sera donnée par l’intersection des plans tangents aux deux surfaces.