CONSTRUCTION DES FORMULES
45 — En résolvant, si cela est possible, les équations d’un problème déterminé, on obtient des formules qui indiquent les opérations arithmétiques qu’il fauteffectuer sur les nombres qui mesurent les grandeurs connues pour avoir les valeurs numériques des inconnues. Mais ne pourrait-on pas déduire de chaque formule, ou même de chaque équation, une construction graphique propre à donner, non plus la valeur numérique de l’inconnue, mais l’inconnue elie-même? En un mot, est-il possible de remplacer les opérations numériques par des opérations graphiques? En géométrie élémentaire, ou ne considère que les constructions qui peuvent être effectuées au moyen d’un nombre limité de lignes droites et de cercles, et qui, par conséquent, n’exigent que l’emploi de la règle et du compas. Comme le cercle est la plus simple des courbes et la plus facile à décrire, les anciens géomètres attachaient beaucoup de prix à ces sortes de constructions; d’un autre côté, ignorant l’analyse algébrique, ils manquaient de moyens pour décider si la question qu’ils avaient eu vue est susceptible d’une solution de ce genre, et ce n’est qu’après avoir fait bien des efforts inutiles qu’ils se décidaient enfin à recourir à d’autres courbes. Leurs recherches ont rendu célèbres certains problèmes que l’on démontre aujourd’hui ne pouvoir être résolus par la ligne droite et le cercle. Tels sont les problèmes de la duplication du cube, de la trisection de l’angle, etc.
Nous supposerons que l’inconnue est une ligne droite; |uand l’inconnue est une surface ou un volume, on la repré- ;ente par OÆ ou a’x, a étant une ligne prise arbitrairement; a construction de la ligne x donne un rectangle ou un paralélipipède équivalents à la surface ou au volume cherché. La iélermination d’un angle donné par une de ses lignes trigonoaiétriques se ramène aussi à celle d’une droite. Nous supposerons encore que toutes les lettres désignent, ainsi (jue x, des ignés droites.
46— Formcle rationnelle. — La formule, qui donne l’inconnue x, doit être homogène et du premier degré; elle peut d’ailleurs être entière, rationnelle ou irrationnelle. Quand elle est entière elle a la forme
et on obtient la longueur x en portant à la suite l’une de l’autre, dans un sens ou dans l’autre, les longueurs a, h,c....
La formule fractionnaire la plus simple est
ab
L’inconnue est une quatrième proportionnelle que l’on construira par deux parallèles ou un cercle.
On construira de même la formule
abcd
X = ,v -, ou X a b' &
a b cd
«/Xt/Xtt’
par une série de quatrièmes proportionnelles,
cd „ ir
aS
A l’aide de la construction précédente, un monôme . J
<J fr'c^.
encore à la forme 1 étant une longueur quelconque
d t une ligne déterminée par la formule
^ du degré m se ramènera à la forme ai ..,/, ou
