PLANS PRINCIPAUX
48?"— Parmi les plans diamétraux d’une surface du second degré, on distingue en particulier ceux qui sont perpendiculaires aux cordes qu’ils divisent en deux parties égales; ce sont des plans de symétrie de la figure; on les nomme plans principaux. Dans ce qui précède, les axes de coordonnées étaient
[uelconques; dans la recherche des plans principaux, nous supposerons les axes rectangulaires. Si l'on désigne par a, i, Y les cosinus des angles que fait avec les axes une direcion donnée, les équations d’une corde peuvent se mettre sous la forme
a, b, c étant les coordonnées d’un point particulier 1 de cette corde, et x, y, z celles d’un point quelconque de cette même corde. La lettre p désigne la distance du premier point au second, affectée du signe ■+■ ou du signe — , suivant qu’elle est comptée dans la direction donnée ou dans la direction opposée.
On obtient l’équation qui donne les distances du point 1 aux points de rencontre de la corde et de la surface en remplaçant dans l’équation (4) les lettres x, y, z par ap, pp, yp, ce qui donne
(i5) Sp*-(- Tp -t- R = o.
en posant, pour abréger.
S = Aa* + A' P’ + A" Y* -t- 2 B Py + ® l = xf'.(a, 6, cH-P/ï(a, b, c)-h'(fc{a, b,c), R=f{a, b, c).
Si l’on suppose le point 1 fixe et que Ton fasse varier les angles a, P, Y, on peut regarder l’équation (i5) comme représentant la surface en coordonnées polaires. Le coefficient S de p* ne dépend que de la direction du rayon vecteur, le terme constant R ne dépend que de la position du point 1, tandis que le coefficient T varie à la fois avec la direction du rayon vecteur et la position du point 1.
4SS — L’équation du plan diamétral des cordes parallèles à la direction (a, p, y) prend la forme
c’est-à-dire
(17) (Aod B" P B'y) a; -f- (B'’ a -h A' fl -t- B y) y
Soient (t, v les c(»iuus des angles que fait avec les axes des coordonnées la normale à ce plan diaoiélral, 6 l’angle de la normale avec la direction des cordes, on a
g>. + pjx + yv COSÔ
oc (Ag B" [4 “l" B’ Y) -(- [1 (B’ g . .) -I- ...
Pour que le plan diamétral soit un plan principal, il faut que la normale au plan coïncide avec la direction des cordes; on doit donc ayoir les relations
' ' Ag-l-B"(î-t-B'Y“B"gH-A’{l-|-BY“B'g-l-BpH-A''Y~
alors l’équation du plan principal devient
(19) S(g®-t- Py + Y") Cg + C"y
4SO— Les équations (18) donnent les suivantes
/ (A — S)g-+-B’'P-f-B'Y = Oj
(20) B''g + (A' — S)P + By = o,
( B'g + Bp-t-(A"— S)y = o; en y joignant la relation
on a à résoudre un système de quatre équations à quatre inconnues.
Les trois inconnues g, p, y ne pouvant être nulles en même temps, puisque la somme de leurs carrés doit être égale à l’unité, l’une au moins, par exemple y, est différente de zéro. Pour résoudre ce système d’équations, on imaginera les premiers membres des trois équations (20) divisés par y> on tirera
des deux premières les valeurs des rapports - » substituant
dans la troisième, on aura une équation ne renfermant plus que l’auxiliaire S; la quantité S connue, comme on a déjà les
valeurs des rapports -> on obtiendra les cosinus au moyen
de l’équation <at).
Au lieu de diviser par y, supposons qu’on tire des deux premières des équations (20) les valeurs de a et fi, et qu’on substitue dans la troisième, on arrivera à une équation de la forme D,y=o; puisque y est différent de zéro, on posera D,=o; c'est l’équation en S. Mais il est évident que le polynôme D, n’est autre chose que le dénominateur commun des fomiules de résolution du système (20) considéré comme un système à trois inconnues a, fi, y. On observe aussi que l’on peut former ce polynôme en remplaçant dans le polynôme que nous avons appelé D (n° 477) les lettre A, A', A" par A — S, A'— S, A"— S. L’équation qui donne l’inconnue S est donc
- (A" — S) B"*-t- aBB'B" = o;
quand on développe le polynôme par rapport aux puissances de S, on voit que le terme indépendant de S est la quantité ü elle-même.
400 — Lorsque les trois coefficients B, B', B" sont différents de zéro, on arrive à une forme d’équation plus commode à discuter, en faisant l’élimination d’une autre manière : multiplions les équations (20) respectivement par B, B', et retranchons les résultats deux à deux, il vient
(23) [(S— A)B-l-B'B'^a=[(vS-AOB'-l-B"B]P = [(S-A")B"-l-BB']y,
nu
