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48 — CONSTRÜCTION DES RACINES DE l’ÉQUATION DÜ SECOMI

DEGRÉ. — L'équation du second degré à une seule inconnue se ramène à la forme a:’-f-pa;-f-q = o; pour qu’elle soit homogène, il faut que la quantité p soit du premier degré, et q du second degré; si ces quantités sont rationnelles ou irrationnelles du second degré, on pourra construire une ligne a équivalente à la première et un carré 6* équivalent à la seconde; et l’équation du second degré présentera l’une des (juatre dispositions suivantes :

a:’ 4- ax -+- 6* = O,

.T*-f-ax — b- = o,

X* — ax-\-b' = o, x' — ax — 6* = o.

Les racines de la première et de la seconde équations sont égales à celles de la troisième et de la quatrième, prises en signes contraires; il suffit donc de considérer celles-ci; or, si on les met sous la forme

on voit qu’il s’agit de construire un rectangle équivalent à un carré è’, et dont la somme ou la différence des côtés soit égale à une ligne donnée a, problèmes que l’on résout en Géométrie élémentaire. La résolution des équations et la construction des formules feraient au besoin retrouver les solutions de la Géométrie.

L’équation bi-carrée se ramène pareillement à l’un des types

x‘ -h a&x* — c’ d* = O, x‘ — abx^ -+- c’ d* = O, x‘ — abx- — c-d‘ = o;

car il est inutile de considérer l’équation x‘-t-aèx*-t-c-d- = o, qui n’a que des racines imaginaires. Si l’on pose x' = cz, ces équations deviennent

, . ob J, , flô , J, . ab ,,

On détermine, comme on vient de le dire, les racines z de celles-ci, puis on trouve x par une moyenne proportionnelle entre c et z.\