CHAPITRE III

De relllpaoldc.

SOI — Nousavons ramené l’équation des surfaces du second degré qui ont un centre unique à la forme

Sa;* + S' y* 4- S" s’ = H,

en rapportant la surface à ses trois plans principaux.

Supposons d’abord que les trois racines aient le même signe, par exemple le signe +. Si le terme constant H est négatif, l’équation n’est vérifiée par les coordonnées d'aucun point de l’espace. Si le terme constant H est égal à zéro, l’équation n’est satisfaite que pour a; = y = :. =0; elle représente un seul point, l’origine. Considérons enfin le cas où H est plus grand que zéro, et posons

réquation se met sous la forme

La coordonnée x ne peut varier que de — a a -+- a, ;/ de— 6

Ui LIVRE VI, aiAPlTRE III.

à 4-6, 5 lie — c à 4-c; prenons sur l’axe des x, de part el d’autre de l’origine, des longueurs OA et OA' égales à a, sur l’axe des y deux longueurs OB et OB' égales à b, sur l’axe des ; deux longueurs OC et OC' égales à c (fig. 271). Par les points A et A', B et B', C et C', imaginons des plans respectivement l)arallè!es aux plans YOZ, ZOX, XOY, la surface sera entièrement comprise dans le parallélipipède rectangle ainsi formé. On a donné à celte surface le nom d’ellipsoïde.

508— L’origine est un centre de l’ellipsoïde. Les plans coordonnés, qui sont les trois plans principaux de l’ellipsoïde, coupent la surface suivant trois ellipses ABA', BCB', CAC', que l’on appelle sections principales de l’elliiisoïde.

Si l’on coupe la surface par un plan parallèle au plan YOZ, y , on obtient pour section l’ellipse

^ / n ,/ I ' ' dont le centre 1 est sur l’axe

^ i / / /II4" ' des X. Les points de la courbe

' y/t — T7 \ 4 étant deux à deux symétriques

< -, par rapport au centre I, les

Fig. 271. points de la surface sont symé-

triques deux à deux par rapjwrt à la droite OX, qui est ainsi un axe de la surface. A mesure que le plan sécant s’éloigne du plan principal YOZ, c’est-à-dire quand x varie de o à a, l’ellipse d’intersection reste toujours semblable à l’ellipse CBC', mais diminue jusqu’à se réduire à un point. 11 en est de même des sections parallèles à chacun des deux autres plans principaux. Ainsi l’ellipsoïde admet trois axes qui sont les intersections des plans principaux deux à deux. Les extrémités des axes sont les sommets de l’ellipsoïde. Si l’on suppose a>b>e, 20 sera l’axe majeur, 26 l’axe moyen, 2c l’axe mineur.

Soit M un point quelconque de l’ellipsoïde (flg. 272); par ce point et le grand axe faisons passer un plan; ce plan coupe la surface suivant une courbe du second degré fermée, par conséquent, suivant une ellipse; à cause de la symétrie, les axes de cette ellipse sont la droite AA' et le diamètre Biy suivant

DE L'ELLIPSOÏDE

Lequel le plan sécant coupe l’ellipse principale CDG' B'; le rayon

OD, compris entre les deux axes 6 et c de celte ellipse principale, est plus grand (pie c; mais d’un autre côté le rayon OM est compris entre OD cl a ; ce rayon e$t donc compris entre c et a. On conclut (le là que le plus grand rayon de l’ellipsoïde est le demigrand axe OA, le plus petit le demi-petit axe OC.