DIAMÈTRES CONJUGUÉS
505 — On dit que trois diamètres forment un système de diamètres conjugués, quand chacun d’eux est conjugué du plan des deux autres. Nous avons déjà reconnu l’existence de pareils systèmes de diamètres (n® 485); menons arbitrairement un premier diamètre OD (flg. 273) et considérons le plan diamétral conjugué; ce plan coupe l’ellipsoïde suivant une ellipse; prenons deux diamètres conjugués quelconques OE, OF de cette ellipse; les trois diamètres OD, OE, OF formeront un système de diamètres conjugués; car si l’on prend pour axes des
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DE L’ELLIPSOÏDE. 445
coordonnées les trois droites OD, OE, OF et que l’on appelle a' 3 b' , cf , les longueurs des trois rayons OD, OE, OF, d’après le raisonnement qui a été fait précédemment (n® 484)» l’équation de l’ellipsoïde se mettra sous la forme
On en conclut que les trois axes des coordonnées forment un système de diamètres conjugués, ou, ce qui revient au même, que les trois plans des coordonnées forment un système de plans diamétraux conjugués.
On voit bien, à l’aide de cette équation, comment varient les sections parallèles; si l’on coupe la surface par un plan parallèle au plan diamétral Y'OZ', on a une ellipse
homothétique à l’ellipse diamétrale EOF et ayant son centre au point I sur le diamètre OD; cette ellipse va en diminuant à mesure que le plan sécant s’éloigne du plan diamétral; elle se réduit au point D, quand le plan sécant passe par ce point et alors le plan est tangent à la surface; au delà le plan ne rencontre plus la surface; en d’autres termes, il la coupe suivant une ellipse imaginaire dont le centre est réel et situé sur le prolongement de OD. Il en est de même de l’autre côté.
&06 — Cherchons maintenant les relations qui existent entre les directions des trois diamètres conjugués OD, OE, OF. Désignons par a, y les coefficients du premier diamètre, par a', y' ceux du second, par a", y" ceux du troisième. Le plan conjugué du diamètre OD a pour équation
ctx ^ a* 6*
yz
ce plan contenant le diamètre OE, on a la relation
On obtient ainsi les trois relations
-tL-o
qui expriment que chaque diamètre est conjugué du plan des deux autres. La première de ces relations signifie que les deux diamètres OD, OE sont conjugues entre eux.
507— Considérons deux systèmes de diamètres conjugués ODEF, OIVE'F' (fig. 27/j). Soit OG le diamètre suivant lequel se coupent les deux plans EOF, E'OF', OH et OH' les diamètres conjugués de OG dans ces deux plans. Si, conservant OD, on
remplace les diamètres conjugués OE, OF par deux autres diamètres conjugués OG, OH de la même ellipse, la somme des carrés ne change pas; de même, si, conservant OD', on remplace les deux diamètres conjugués OE', OF' par deux antres diamètres conjugués OG, OH' de la même ellipse, la somme des carrés ne change pas. On a alors deux systèmes de diamètres conjugués OGIID, OGH'D', qui ont un diamètre commun OG, les deux autres, étant situés dans le plan diamétral conjugué de OG, appartiennent à la même ellipse; donc la somme des carrés est la même. Ainsi, la somme des carrés de trois diamètres conjugués est constante et, par conséquent, égale à la somme des carrés des axes.
On démontre de la même manière que le volume du parailélipipéde construit sur trois diamètres conjugués est constant; lorsqu'on remplace le système ODEF par le système ODGH, le volume ne change pas; car les deux parallélipipèdes ont des bases équivalentes, les parallélogrammes EOF, GOH, et même hauteur, la perpendiculaire abaissée du point D sur le plan des bases.
DE L’ELLlPSOIDE.
SECTIONS CIBCüLAIRES.
508— Parmi les scclions planes de l’ellipsoïde, il importe d’examiner en particulier les sections circulaires. Supposons qu’un plan diamétral coupe l’ellipsoïde suivant un cercle
. (flg. 2;>5); soit OD le diamètre conju-
! '\ gué; si, dans le plan du cercle, on
( IJ ' - prend la projection OE de OD et un
\ \ diamètre OF perpendiculaire à OE, on
\ j aura un système de trois diamètres
^ conjugués; or le diamètre OF est per-
Fig. S7j. pendiculaire au plan diamétral conju-
gué DüE; donc ce plan est un plan principal et OF l’un des axes de la surface. Ainsi les plans diamétraux qui coupent l’ellipsoïde suivant des cercles passent par Fun des axes de la surface. Cet axe est l axe moyen BB' de l’ellipsoïde; car, nous avons vu (n“ 5oa) que, lorsque le plan sécant passe par le grand axe AA', les deux axes de l’ellipse dirrèrent nécessairement; il en est de même qjiand le plan sécant passe par le petit axe CC'.
f.A)rsque le plan sécant passe par l’axe moyen BB', les deux axes de l’ellipse d’intersection sont l’axe BB' et le diamètre Diy - - suivant lequel le plan sécant coupe
l’ellipse principale ACA' (fig. 276).
\ La longueur de ce diamètre DD', va-
*■( . ‘ *'*‘*1^^ LC' à AA', pourra être égale
y ^ 3lors la section sera un cer-
I cle. Du point 0 comme centre, avec
Fii.*276. un rayon égal à è et dans le plan
principal ACA' décrivons un arc de cercle (|iii coupera l’ellipse principale en D et E; menons les diamètres OD et OE; les deux (dans diamétraux BOD, BOE couperont l’elli()Soïde suivant des cercles. On conclut de là que rdlipsoide à trois axes inégaux admet deux séries de sections circulaires.
Quand l’ellipsoïde est de révolution, les deux (dans BOD, BOE se confondent avec le |)lan princi|)al (lerpendiculaire à l’axe de rotation, c'est-à-dire avec l’équateur de la surface. On n’a (dus alors qu’une série de sections circulaires.
On peut mettre en évidence l’existence des sections circulaires en écrivant l’équation de l’ellipsoïde sous la forme
si on désigne par ^ ^ quantités positives ^ ^ el
~ — l’équation devient
L’intersection de la surface par le plan — h-=«, a étant
^mn
une constante arbitraire, est située sur la splière l)‘ \7» n) '
on a ainsi une première série de sections circulaires. Le plan
= s donne une seconde série de sections circulaires.
L’équation précédente signifie que le carré de la tangente menée d’un point quelconque de l’ellipsoïde à la sphère a:’-Hî/*H-3‘ = 6’ est au produit des distances de ce même
point aux deux plans diamétraux ^ l’on ap-
pelle plans cycliques, dans un rapport constant.
