DES PARABOLOÏDES

rencontre la surface qu’en un point, et il n’y a plus de plan diamétral. Le plan diamétral s’est éloigné à l’infini.

Le lieu du centre de la section faite par le plan représenté par l’équation A.x + By -hCz = l, dans laquelle l est un paramètre variable, a pour équation

lA^ JL — -L__

Bq~Cq~

c’est une droite parallèle à l’axe. En d’autres termes, les projections des sections parallèles sur le plan YOZ sont des ellipses homothétiques et concentriques. Réciproquement, tq/ate droite parallèle à l’axe est un diamètre.

540 — Prenons pour origine des coordonnées un point quelconque M de la surface, pour axe des x le diamètre qui passe en ce point, et pour plan des xy un plan quelconque mené par la droite MX; ce plan coupe la surface suivant une parabole; nous prendrons pour axe des y la tangente à la parabole au point M, et pour axe des z la parallèle menée par le point M à la direction conjuguée du plan XMY. L’équation de la surface, ne contenant pas de terme du premier degré en z, et devant se réduire, quand on y faitz=o, à celle d’une parabole rapportée à un diamètre et à la tangente à l’extrémité, sera de la forme

les deux paramètres p' et q' auront le même signe, par exemple le signe -t-, sans quoi les sections par des plans quelconques seraient des hyperboles. On voit par là que le plan XMZ est conjugué de la direction MY. Les sections faites par des plans parallèles au plan YMZ sont des ellipses rapportées à deux diamètres conjugués.

On peut obtenir d’une autre manière les axes des coordonnées auxquels nous venons de rapporter la surface. Considérons un plan quelconque non parallèle à l’axe du paraboloïde; ce plan coupe la surface suivant une ellipse; par le centre de l’ellipse, menons une parallèle à l’axe jusqu’à la rencontre de la surface, et par ce point, des parallèles à deux diamètres con-

jugués de l’ellipse; l’équation de la surface se réduira à la forme précédente.