N*— MP=*A"D

D étant le dénominateur ou le déterminant relatif aux équations

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du centre. En outre, le terme constant — A"F, est différent de zéro.

Supposons que le lieu défini par l’équation (3) soit du genre ellipse; ce lieu sera une ellipse réelle ou une ellipse imaginaire; mais pas un point. Si le lieu est une ellipse réelle, la courbe a pour centre l’origine, et l'on sait que le polynôme Mic*4- aNarÿ-f-Py* — A"F, conserve un signe invariable, lorsqu'on remplace xeiy par les coordonnées d’un point intérieur (ce signe est celui du terme — A"F,) ; pour tous les points extérieurs, le polynôme a un signe contraire. Si la quantité — k"¥^ est positive, tous les points de la surface se projettent à l’intérieur de l’elli pse ; la surface est donc une Ilipsolde. Si la quantité

— A"F est négative, les points de la surface se projettent en dehors de l’ellipse, et l’on a un hyperboloïde à une nappe. Lorsque le lieu est imaginaire, la fonction M^’H-aNxiz-f-Py*— A'F, conserve un signe invariable pour tous les points du plan XOY (ce signe est celui du terme — A'T,) et ne s’annule pas; si la quantité — A"Fj est positive, la surface se compose de deux nappes indéfinies séparées par le plan diamétral; c’est un hyperboloïde à deux nappes; si la quantité — A" F, est négative, la valeur de z étant toujours imaginaire, l’équation (i) n’a pas de solutions réelles.

Supposons actuellement que l’équation (3) définisse un lieu du genre hyperbole; le terme — A"F, étant différent de zéro, le lieu est toujours une hyperbole, et non le système de deux droites. Si la quantité — A''F, est positive, tous les points de la surface se projettent entre les deux branches de l’hyperbole; la surface est donc un hyperboloïde à une nappe. Si la quantité

— A"F, est négative, la surface est un hyperboloïde à deux nappes.

On peut remarquer que le signe de la quantité — A''F, indique si le diamètre OZ est réel ou imaginaire. Ce diamètre, joint à deux diamètres conjugués de la section, forme un système de trois diamètres conjugués de la surface qui permettent de reconnaître immédiatement l’espèce de celte surface. Supposons que la section diamétrale soit une ellipse réelle, cette ellipse admet deux diamètres conjugués réels; si la quan-

m LIVRE VI, CHAPITRE VI.

tité — A'' F, est positive, le troisième diamètre étant aussi réel, la surface est un ellipsoïde; si cette quantité est négative, I« troisième diamètre étant imaginaire, la surface est un hyperboloïde à une nappe. Lorsque la section est une ellipse imaginaire> elle admet deux diamètres conjugués imaginaires; si le troisième diamètre est réel, le lieu est un byperboloïde à deux nappes; s’il est aussi imaginaire, le lieu est un ellipsoïde imaginaire. Supposons maintenant que la section soit une hyperbole; de deux diamètres conjugués de cette hyperbole, l’un est réel, l’autre imaginaire; si le troisième diamètre est réel, la surface est un byperboloïde à une nappe; s’il est imaginaire, la surface est un byperboloïde à deux nappes.

Nous ferons encore remarquer que la section diamétrale est la courbe de contact d’un cylindre circonscrit à la surface et ayant ses arêtes parallèles à l’axe des 2.

Lorsque deux des coefflcients A, A', A", par exemple A et A' sont de signes contraires, la surface est un byperboloïde; car la section faite par le plan z = o est une hyperbole.

Supposons maintenant que l’un des coefflcients des carrés, A" par exemple, soit nul, l’équation

(4) 2 (B y -+- B' æ) Z -h (A Æ’ -H A' y* -h 2 B"iTî/ -H F,) = O

étant du premier degré par rapport à z, à tout système de valeurs réelles de a: et de y correspond une valeur réelle de z j ainsi la surface s’étend à l’inflni; c’est donc l’un des deux byperboloïdes. Le cône asymptote est représenté par l’équation

a (By -4- B' a:) z -t- (A -I- A' y* -H 2 B" xy) = O ;

on voit que la droite OZ est une arête de ce cône. Si la surface est un byperboloïde à une nappe, deux droites parallèles à OZ sont situées sur la surface; or, les équations d’une droite parallèle à OZ sont x = x, y = p; la coordonnée z du point d’intersection de cette droite et de la surface est donnée par l’équation

Pour que la droite appartienne à la surface, il faut que l’on

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puisse choisir a et p de manière que l’équation précédente soit vériflée quelle que soit z, c’est-à-dire de manière que l’on ait simultanément

BP-i-B'a = o, Aa*-+- A'P*-(-2B"ap -4- Fi = o;

O B'ot

AB*-[-A'B'*— aBB'B'

La surface est un hyperboloïde à une nappe, si la yaleur de a* est positive, un hyperboloïde à deux nappes, si cette valeur est négative.

2* La surface est dépourvue de centre. Cette surface ne peut être que l’un des paraboloïdes ou le cylindre parabolique. Si c’est un paraboloïde, l’un au moins des trois plans coordonnés n’est pas parallèle à l’axe, et donnera une section elliptique ou hyperbolique suivant que le paraboloïde est elliptique ou hyperbolique. Si la surface est un cylindre parabolique, les sections par les trois plans coordonnés sont des sections paraboliques.

Lorsque la surface est un paraboloïde, les plans diamétraux représentés par les équations /^^rro, /^ = o, /^=o se coupent suivant des droites parallèles à l’axe de là surface; de deux de ces équations, on déduira les cœfflcients angulaires d et à de l’axe. Les plans perpendiculaires à l’axe sont déflnis par l’équation aa:-i-by+z = l; le lieu des centres de ces sections parallèles, ou l’axe de la surface, est donné par les équations (n® 486)

3“ La surface a pour centres tous les points d’une droite. La surface est un cylindre; l’un, au moins, des trois plans coordonnés n’est pas parallèle à son axe; la section du cylindre par ce plan détermine son espèce.

4° La surface a pour centres tous les points d'un plan. Dans ce cas, le lieu est l’ensemble de deux plans parallèles, un plan unique, ou l’équation ne représente rien. Pour décider la question, on fait une section par l'un des plans coordonnés non parallèle au plan des centres.

Exkiplb l. 4ic*-h3ÿ’-h9»’+8a:* + 4xÿ + 4ÿ-f-8* + 9 = 0.

Les équations qui déterminent le centre sont

ix + y + iz=0, 2x + 3y + 2 = 0, 4® + 9s + 4 = 0.

Ces équations n'admettent qu'une solution y — — 3, s=— 2. Si

l’on transporte l’origine au centre, le terme constant prend la valeur — 5, et l’équation se réduit ii

4x*-|-3y*+ 9a’ + 8xa 4- 4xy — 5 = 0.

En résolvant par rapport 4 x, on a

L’équation

— 2ÿ*— os*4- iy* 4- 5 = 0

représente une ellipse réelle ; le terme constant sous le signe radical étant positif, U surface se projette sur le plan des ya 4 l'intérieur de l'ellipse ; c’est donc un ellipsoïde.

Si l’on remplaçait, dans l'équation donnée, le terme constant 9 par 44, la nouvelle équation ainsi obtenue ne représenterait plus qu'un point. Si l’on remplaçait le terme constant par un nombre plus grand que 4 4 , l’équation n’admettrait plus de solutions réelles.

Extnrue II. 4x*— 46y*4-44y*4-4ax4-4xy-t-4x — 34y4-24s — 48=0. Les équations qui déterminent le centre sont

Elles n’admettent qu’une solution x = — -, y = — -, a=— 4. Lorsqu’on transporte l'origine au centre, l'équation de la surface devient 4x’-f- 13y’4-44yz4-4ax^ 4.ry — 6 = 0.

V Celle-ci résolue par rapport à x donne