r=y — s±Vs‘— 4*V*— 44ya

L’équation

, s’-44y’-44ya4-6 = 0

représente une hyperbole ; le terme constant sous le signe radical étant positif, la surface est un liyperboloïde 4 une nappe.

Lorsqu'on remplace dans l'équation proposée le terme — 48 par —42, on obtient une nouvelle équation qui représente un cône; si l'on remplace le terme constant par un nombre plus grand que — 1 2, on a un hypo'boloTde 4 deux nappes.

Exempuc 111. ix’+li/’+lâjp* — iîyz + lxy + ix+iy ~\~Zts= 0. Les équaüoDS qui déierroinent le centre sont

2a; + v-Hl = 0, Sæ-I- 4j/ — 6*4-1 =0, iy — 8* — 1 = 0.

Si l’on retranche la première de la seconde, on obtient l'équation y — 2s = 0, ou 4y — 8a = 0,

incompatible avec la troisième. L'équation proposée représente donc une surface dépourvue de centre. L’équation de ta section de la surface par le plan des xy est

4a5*4-4y*4-4xy-t-4x-i-2y = 0;

cette section étant une ellipse, la surface est un paraboloïde elliptique. L’axe, ayant pour coefficients angulaires — 1 et 2, est représenté par les équations

Exemple IV. 4x* — 2y*— 12;’-t-12ys4-4xy-(-4x4-2ÿ-1-3* = 0. Les équations qui déterminent le centre sont

Si l’oii retranche la seconde de la première, on obtient l’équation y — 2x=0, i ocoinpatible avec la troisième ; ainsi la surface n’a pas de centre. Le plan des xy coupant la surface suivant une hyperbole

la surface est un parabolofde hyperbolique, dont les équations de Taxe sont — (8x4- *y 4- 4) =— 2y 6* 4- 2x4- 1 = — 24* 4- 12ÿ H- 3.

Exemple V. x’4- 2y’-1- 4**— 4y* — 2xy4- 2x— 2y — 4 = 0,

Les équations qui déterminent le centre sont

En ajoutant les deux premières membre à membre, on obtient la troisième; donc la surface admet pour centres tous les points de la droite x=2* — 1, y = 2*; sa trace sur le plan XOY est l’ellipse

.T* -H 2y* — 2 xy 4- 2x — 2y — 4 = 0.

Ainsi, la surface est un cylindre elliptique.