TROISIÈME METHODE

5S4— Cette méthode est basée sur certaines transformations que l’on peut faire subir à une fonction du second degré à trois variables, et elle revient, comme nous le verrons, à

une Iranslormation de coordonnées. Dans ce qui suit, les lettres a, b, c, k désigneront des quantités constantes, et les lettres a, y des fonctions linéaires d'une ou de plusieurs des variables x, y, z.

Considérons en premier lieu un polynôme du second degré à une seule variable x,

' (i) A«*-t-Bx-t-C;

le coefficient A étant différent de zéro, on peut écrire le polynôme

et, par conséquent, le ramener à la forme

(2) aa}-hk.

Soit maintenant un polynôme du second degré à deux variables

(3) Aa:*-f-Ba:y-i-Cy’+DÆ-t-Ey4-F,

dans lequel nous supposerons d’abord que l’un des coefficients de 05* et de y*, C par exemple, n’est pas nul. Le polynôme (3), est du second degré par rapport à y, en l’ordonnant par rapport à cette variable, on a

Cy* “i— (Bx -t~ E) y -t- Ax* -t— Dx -(— F, ou

La seconde partie Ax*-i-Dx-(-F

(BxH-E)*

est un poly-

nôme en X du second ou du premier degré, ou une constante. Si elle est du second degré, on la mettra sous la forme 6p*-t-A:; ainsi, lorsque le coefficient C n’est pas nul, on peut réduire le polynôme (3) à l’une des formes

(5) aa‘-|-p,

(6) aa*-t-A. V

lorsque les deux coefficients A et C sont nuis à la fois, B est

DISCUSSION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 503 nécessairement ditférent de séro, et l’on a

H- Da; 4- E y 4- F = a; (Bÿ -H D) 4- Eÿ -h F

= (x + |)(Bj+D) + (r-ffi):

le polynôme prend la forme

(7) afJ-f- A.

11 esl bon de remarquer que la forme (7) se ramène à la forme (4); car on a identiquement

Les polynômes — contiennent toutefois les deux

variables x et y, tandis que dans le polynôme (4) la fonction p ne renferme que la variable x.

Considérons enfin un polynôme à trois variables

(8) A a:* 4- A' y* 4- Z* 4- 2 B ys 4- 2 B' za; -f- 2 B" icy