CHANGEMENT I)E I.A DIRECTION DES AXES
50 — Supposons maintenant que l’on change la direction des axes en conservant la même origine. Nous traiterons
d’abord un cas particulier qui se présente souvent dans la pratique, celui où les axes des deux systèmes sont rectangulaires. Imaginons que l’on change la direction des axes en faisant ‘ tourner l’angle droit XOY (fig. 3o)
^'■8 d’un certain angle a autour de l’ori-
gine pour l’amener dans la position X'OY', et considérons l’angle a comme positif, si la rotation s’effectue de OX vers OY, et comme négatif, si la rotation s’exécute en sens inverse.
Par un point quelconque M du plan menons des parallèles MP et MP' aux axes OY et OY', désignons par a; et y les coordonnées du point M relatives aux premiers axes, et par et y' les coordonnées du même point relatives aux nouveaux axes. Les projections des deux chemins OPM, OP'M sur un a«e quelconque sont égales. Projetons ces deux chemins d’abord sur l’axe OX; la projection de la longueur OP est cette longueur elle-même, prise avec le signe -t- ou le signe — , suivant qu’elle est portée dans la direction OX, ou dans la direction opposée; c’est, dans tous les cas, l’abscisse x; PM étant perpendiculaire sur OX, sa projection est nulle; la projection du premier chemin se réduit donc à X, Projetons maintenant le chemin OP'M; et d’abord projetons le premier côté OP'; si la longueur OP' est portée sur OX', il faut la multiplier par cosa, ce qui donne la projection OP'Xcosa; si cette longueur est portée en sens inverse, il faut la multiplier par cos (a-t-ir), ce qui donne
OP X cos (a Tv) ou — OP' X cos a; mais, dans le premier <^s, on a a/ = OP', dans le second cas, od = — OP'; ainsi la projection du côté OP' est toujours exprimée par x’ cos«. Considérons le second côté P'M; s’il est dirigé dans le sens
TT
OY', il fait avec OX' l’angle et sa projection est
P'M X cos s’il est dirigé en sens inverse, il fait avec
OX l’angle «-f- et sa projection est — P'M x cos ;
mais on a, dans le premier cas ÿ' = P'M, dans le second cas ]f= — P'M; ainsi, la projection de P'M est toujours exprimée
par y'cos^a + ^y 11 en résulte que le chemin OP'M a pour
projection a/cosa + y'cos^a-|-^^. ou a;'cosa — ysina. En
égalant les projections des deux chemins OPM, OP'M, on obtient la relation x = jr'cosa — j/'sina.
Projetons ensuite les deux chemins sur l’axe OY. La projection de OP est nulle; celle de PM, prise avec le signe convenable, est y; ainsi la projection du premier chemin se réduit à y. Les deux directions OX' et OY' font avec OY’ les angles
— -H a et (X, ce qui donne pour la projection du second chemin ar' cos ^ ^ + »/' cos a, ou .r' sina -|- y' cosa, et l’on
a la relation i/ = a:' sina-t- // cosa. On obtient ainsi les formules
(3) x = a/cosa — y'sina, »/ = sina-l-y' cosa,
qui expriment les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles.
51 — Occupons-nous maintenant de la question générale. Soient OX et OY deux axes quelconques faisant entre eux un angle 0, OX' et OY’' deux nouveaux axes dont on définit les directions par les angles a et p qu’ils font avec OX (fig. 3i); on convient de regarder les angles a et p comme positifs, quand une droite mobile les décrit en tournant de OX vers OY, et
comme négatifs, quand la droite tourne en sens contraire. Par j R' un point M quelconque du plan me-
T\ ■ ; ' nons les droites MP et MP' respective-
\! ^ ment parallèles aux axes OY et OY'.
i / / Pour avoir Æ, nous projetterons les
' ^'/p I' deux chemins OPM, OP'M sur une
direction OH perpendiculaire à OY,
' et telle qu’une droite, partant de la position OY, tourne d’un angle égal à
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- de OY vers OX pour arriver à la
position 011. La direction OX faisant avec OH l’angle — 0,
et la direction OY étant perpendiculaire à OH, la projection du premier chemin se réduit à aüsinÔ. La direction OX' fait avec OH un angle égal à l’angle HOX, augmenté
de l’angle XOX',cequi fait + de même, la direction OY' fait avec OH un angle égal à ~ + Pi on “ <^onc
pour la projection du second chemin
aj' cos 0 — 6 H- H- j/ cos — 9 -t- .
ou .r'sin (9 — a)H- j/'sin (0 — P),
ce qui donne la relation
a; sin9 = x' sin (9 — o) H- j/' sin (9 — p).
Pour avoir y, projetons les deux chemins OPM, OF M sur une direction OK perpendiculaire à OX, et telle qu’une droite,
partant de la position OX, tourne d’un angle égal à ^de OX
vers OY pour arriver à la position OK. La direction OX étant perpendiculaire à OK et la direction OY faisant avec cette
droite l’angle — projection du premier chemin se
réduit à ÿsin9. Les angles que les directions OX' et OY' font avec OK sont égaux aux angles qu’elles font avec OX, diminués
de ce qui donne projection du
TRANSFOKMATION DES COORDONNÉES.
second chemin est doue a/cos^ — + ÿ' cos ^ ou a/ sin a -f- y' sin fi, et l’on a la relation
y sin 6 = a' sina -t- y^ sin [i.
On obtient ainsi les deux formules
sin (9 — at) + y^ sin (0 — fl)
sin9 ’
a/ sina -1- y' sin fi sin 6
pour la transformation des coordonnées obliques en d’autres coordonnées obliques.
On en déduit facilement des formules servant à revenir des nouveaux axes aux anciens. L’angle des nouveaux axes est ^ — a; les axes OX et OY font avec OX' les angles — a et 6 — a; il suffit donc, dans les formules précédentes, de remplacer 9 par fl — a, a par — a, ^ par 9 — a, ce qui donne
a" sin fH- y sin (fl — 9) sin ([i — a)
— a; sin a 4- y sin (9 — a) sin (fi — a)
53 — On déduit de ces formules générales quelques formules particulières qu’il est bon de connaître.
1“ Cas où les axes primitifs sont rectangulaires. Dans ce cas
un a 9 = - > et les formules (4) se réduisent à
j a: = a/ cos a +■ y' cos fl, l y = a/ sin a 4- y' sin fl.
2° Cas où les nouveaux axes sont rectangulaires. Supposons
,j = a4-^'» les formules (4) deviennent
x' sin (9 — g) — cos (9 — a) sin9
ay sina4-y cosa si 11 9
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On pourrait supposer aussi [i = a — ce qui revient à
changer le sens de l’axe OY', et, par conséquent, le signe dey dans les formules (7).
3° Cas où les deux systèmes d’axes sont rectangulaires. Si, dans les formules (6), on suppose = on obtient 'les
formules (3) déjà trouvées,
( x = a/cosa — î/sina,
[ y = x‘ sma + ycosa.
On les obtiendrait aussi eu supposant dans les formules (7)
