DISTANCE DE DEUX POINTS
55 — Supposons d’abord les axes rectangulaires et cherchons la distance de l’origine à un point M dont nous appelons x ei y les coordonnées ; dans le triangle rectangle OPM (tîg. 34), on a
ÜM* = ÔP‘-4-PÂÎ* = x*+2/*,
Fig. :n. quelle que soit la position du point M dans le plan; d'où l'on déduit, en désignant par l la distance OM,
Cherchons maintenant la distance des deux points M et M^, situés d'une manière quelconque dans le plan; nous appelons I X et y les coordonnées du point M, 01^ et
y' celles du point M' jiar rapport aux axes rectangulaires OX, OY. Par le point M (fig. 33) menons des axes MX^ MY', parallèles aux axes proposées; les coordonnées du point M' relatives à ces nouveaux axes sont égales kod — x, y' — y, ew vertu des
LIVKE 1, CHAPITKE IV.
formules (2) du 11“ 4y- La distance l de la nouvelle origine M au point SE sera donc, d’apres la formule (lo).
(11) l = yi(x' — xf-h{!/ — yy.
50 — Nous avons supposé jusqu’à présent les axes rectangulaires. Quand les axes sont obliques et font entre eux l’angle 0,
l’expression de la distance est un peu plus compliquée. Cherchons d’abord la distance de l'origine O à un point quelconque SI du plan.
Dans le triangle OPM (fig. 36), quelle que soit la position du point M,
ou a
l' IC .
1>M‘ — 2 . OP . PM .cos OPM.
Quand le point M est silué dans l’angle YOX, les coordonnées X et y de ce point sont égales à + OP et à 4- PM, et l’angle OPM est le supplément de l’angle 6; on a donc
(12) /=^x*-hy'-l-2xy cüsO.
Si le point SI est situé dans l’angle Y' OX', les coordonnées xely étant égales à — OP et à — PM, et l’angle OPM le supplément de 0, on obtient la même formule {12). Quand le point M est situé dans l’un des angles YOX', Y'OX, l’angle OPM est égal à 6, mais l’une des coordonnées est positive, l’autre négative, ce qui reproduit encore la formule (12). Celle formule est donc générale.
Pour avoir la distance de deux points M et SI', on imaginera comme précédemment par le point SI des axes parallèles aux premiers, et on obtiendra la formule
