I -H acos

i-l-a'cosÔ

, , (a' — a)sin0

(•7) îi'iS i( aa' -h(a-f- a')cos9

De ces formules, on déduit la relation qui existe entre lies coefficients angulaires de deux droites perpendiculaires entre elles. En effet, quand l’angle V est droit, sa tangente devenant

6ti LIVRE II, CHAPITRE I.

infînie, on a, si les axes sont rectangulaires,

(i8) i-\-aa' = o, et, si les axes sont obliques,

(19) 1 + oa' H- (a + a0 cos6 = O.

MIOULÈUE IX.

7&—D'un point donné abaisser une perpendiculaire sur une droite donnée, et trouver la longueur de celle perpendiculaire. Soit

(2) y = ax-hb

l’équation de la droite donnée AB, x' cl i/ les coordonnées du point donné M (fig. 5o). Supposons d’abord les axes rectangulaires. Une droite quelconque passant par le point M a une équation de la forme (n° 64)

y — ij = a{x — x').

Fig. 50. Pour que cette droite soit perpendiculaire à la droite AB, il faut que la relation (n° 74) i -t-aa' = o

soit vérifiée; d’où l’on déduit a'=— En remplaçant a' par

sa valeur, on obtient l’équation de la perpendiculaire MP

On trouvera les coordonnées x et y du pied P de la perpendiculaire, ou le point d’intersection des deux droites AB et MP, en résolvant les deux équations simultanées (2) et (20); mais nous préférons chercher tes différences x — a/ et y — y'-, l’équation (2) peut être mise sous la forme

y — !/ = a(x — x') — (y'— ax' — 6);

sij dans cette équation, on remplace ÿ— 1/ par sa valeur donnée par l’équation (20), on trouve

ajij — ax — b) I -f- a*

et, par suite, en vertu de l’équation (20),

y' — ax' — b I H- o’

En appliquant la formule de la distance de deux points (11“ 55), on obtiendra la longueur l de la perpendiculaire MP,

(// — ax' — 6)*(i + g*).

d’où

— ax’ — b

Vu- a*

On prendra le signe de façon que l’on ait pour l une valeur positive. 11 est aisé de voir que le numérateur est positif ou négatif, suivant que le point M est placé par rapport à la droite AB du côté des y positives ou du côté des y négatives. En effet, soit N le point où la droite AB est rencontrée par la parallèle à l’axe des y menée par le point M; le point N étant sur la droite AB, l’ordonnée y^ de ce point est égale à axf-\-b, de sorte que la formule (21) devient

La différence — y^ est positive dans le premier cas, négative dans le second cas.

On aurait pu obtenir immédiatement la longueur de la perpendiculaire sous cette dernière forme, en remarquant que le triangle rectangle MNP donne

MP -- MNsinMNP=±(y' — ÿ.) cosa=± •

Vn-û’

Supposons maintenant les coordonnées obliques; les droites AB et MP seront perpendiculaires si leurs coefficients angulaires a et o' vérifient la relation n-aa'+(a-t-a')cos6=o,

<l’où l’on déduit a'= — i -1- a cos9 L’équation de la perpena-hcosO ^

^iculaire MP est donc

I a cosô o-|-cos6

En résolvant les deux équations simultanées (2) et (22), on