CHAPITRE III

Lieux géomételquee.

9§— On définit les lieux géométriques de plusieurs manières : tantôt on donne une propriété commune à chacun (les points du lieu ; et c’est en traduisant cette propriété, à l’aide

des signes algébriques, que Pon obtient l’équation du lieu. C’est ainsi que nous avons défini la circonférence du cercle, le lieu des points distants d’un point donné d’une quantitédonnée; en exprimant cette propriété commune à tous les points du lieu, nous avons obtenu l’équation de la circonférence (n* 84). Nous avons trouvé de la même manière le lieu des points dont les distances à deux points donnés sont entre elles dans un rapport donné (n® gS); l’expression de cette propriété donne l’équation du lieu. Nous avons aussi obtenu par le même procédé l’équation de la perpendiculaire élevée sur le milieu de la droite qui joint deux points donnés (n° 8o), et celles des bissectrices des angles formés par deux droites données (n®8i ).

Mais on définit ordinairement une ligne PQ (fig. 6i) par le mouvement d’un point dans le plan. Chacune des positions du point mobile M est donnée par la construction d’une figure dont les diverses parties ne dépendent que d'un paramètre arbitraire a. D’après cela, les deux coordonnées a; et y du point M sont des fonctions de ce paramètre variable a; soient

x = f{a), yz=f,{a),

ces deux fonctions ; on obtiendra l’équation du lieu décrit par le point M, en éliminant le paramètre a entre ces deux équations.

En général, la construction géométrique détermine chacun des points du lieu par la rencontre de deux lignes mobiles qui dépendent par conséquent du paramètre a; soient

les équations de ces deux lignes. Si l’on attribue à ce paramètre une valeur particulière, on obtien t deux lignes A et B qui se coupent en un point M, dont les coordonnées æ et y vérifient les deux équations simultanées (i) et (2]. Si l’on attribue au paramètre une autre valeur a', les deux lignes occuperont les positions k' et B' et le point d’intersection viendra en M'; une

troisième valeur a" attribuée au paramètre donnera les deux lignes A" et B" et le point d’intersection M", et ainsi de suite. Concevons que l’on fasse varier le paramètre a d’une manière continue, les deux lignes A et B se déplaceront dans le plan d’une manière continue et le point d’intersection M décrira la ligne PQ.

On obtiendra l’équation de la ligne PQ, lieu du point M, en éliminant le paramètre o entre les deux équations (i) et (2). En effet, éliminer a entre les deux équations (i) et (2), c’est trouver un système de deux équations

équivalent au système des deux équations (i) et (2), et tel que l’ime d’elles ne renferme plus la lettre a. On dit que deux systèmes d’équations sont équivalents, lorsqu’ils sont vériflés par les mêmes valeurs attribuées aux variables. Quand on attribue à a une valeur particulière, les coordonnées a: et ÿ du point M, jointes à cette valeur de a, forment un système de valeurs des trois quantités x, y, a vérifiant à la fois les deux équations (i) et (2); puisque le système des équations (3) et (4) est équivalente au précédent, ces valeurs vérifient aussi les équations (3) et (4); l’équation (4), ne renfermant pas a, est donc vérifiée par les coordonnées de l’un quelconque des points du lieu. Ainsi, l’équation (4) représente la ligne que décrit le point M, quand on fait varier le paramètre a.

Réciproquement, tout point M, dont les coordonnées x et y vérifient l’équation (4), appartient au lieu. Car, si l’on détermine la valeur de a qui vérifie l’équation (3), dans laquelle on attribue kxety les valeurs précédentes, on obtient un système de valeurs des trois quantités x, y, a vérifiant le système des équations (3) et (4). Les équations (i) et {2), formant un système équivalent à celui-là, seront vérifiées par les mêmes valeurs; on obtiendra ainsi deux lignes A et B passant par le point M.

11 peut arriver cependant qu’à un système de valeurs réelles de x et de »/ vérifiant l’équation (4) corresponde une valeur

de a, pour laquelle les équations (i) et (2) ne représentent pas de lignes; c’est ce qui aurait lieu, par exemple, si la valeur de a était imaginaire. Mais, dans tous les cas, les valeurs de x, y a satisferont aux deux équations (1) et (2).

09 — Quoique la construction de cliacune des positions de la figure qui donne les divers points du lieu ne dépende que de la valeur attribuée à un paramètre arbitraire, il est souvent plus commode d’introduire dans le calcul plusieurs paramètres variables a, 5, c,. . mais alors ces paramètres sont liés entre eux de telle sorte que la valeur d’un seul suit arbitraire et que la variation de ce paramètre détermine, par conséquent, celle de tous les autres. Si ces paramètres sont au nombre de n, ils seront liés par n — i équations de condition.

Supposons d’abord que l’on n’emploie que deux paramètres variables a et è liés par l’équation de condition (5) <p(o, 6) = o,

et soient

les équations des deux lignes mobiles A et B dont l’intersection donne chaque point du lieu. Si l’on fait varier le paramètre a d’une manière continue, le paramètre b, qui dépend de a d’après la relation (5), variera aussi d’une manière continue; les deux lignes A et B, dont les équations contiennent ces deux paramètres, varieront aussi d’une manière continue, et leur point d’inlersection M décrira la ligne PQ.

On obtiendra l’équation de celte ligne en éliminant les deux paramètres a et 6 entre les trois équations (5), (6), (7). Eu effet, éliminer a et 6 entre ces trois équations, c’est trouver un système de trois équations

(8) Fj(a;, y, a, b) — o,

équivalent au système proposé et tel que l’une d’elles ne contienne plus a et b. Quand on attribue à a et è des valeurs vérifiant l’équation (5), les coordonnées a: et y du point M, jointes

à ces valeurs de a et de b, formeut un système de valeurs des quatre quantités x, y, a, b, vérifiant à la fois les trois équations (5J, (6), (7). Les trois équations (8), fy), (10), formant un système équivalent au système précédent, seront aussi vérifiées parles mêmes valeurs; l’équation (10), étant indépendante de a et de b, sera donc vérifiée par les coordonnées x et y de chacun des points du lieu. Réciproquement, tout point M dont les coordonnées x et y vérifient l’équation (10), appartient au lieu; car, si l’on détermine les valeurs de a et de 6 qui vérifient les deux équations (8j et fy), dans lesquelles on attribue à x et à y les valeurs précédentes, on obtient un système de valeurs des quatre quantités x, y, 0, b vérifiant le système des trois équations (8), (y), (10). Les trois équations (5), (6), (7), formant un système équivalent à celui-là, seront aussi vérifiées, et l’on aura deux lignes A et B passant {>ar le point M.

100 — Supposons, en général, que l’on emploie n paramètres variables a, b, c,.. h, liés entre eux par n — i équations de condition

Çj(ci, bf c, . . . , h] — O, è, c, ..., A) = o,

et soient

les équations des deux lignes mobiles A et B, dont l'intersection donne chaque point du lieu. Quand on fait varier le paramètre a, les autres paramètres varient simultanément, et le point M décrit le lieu. On obtient l’équation de ce lieu eh éliminant les «paramètres entre les n-t- 1 équations (ii), {12), (i3).

101— Nous avons dit que la construction de la figure ne dépend que d’un seul paramètre arbitraire a. Si la figure dépendait de deux paramètres arbitraires a et b, les deux coordonnées X et y du point M seraient des fonctions de ces deux paramètres

x = f[a,b), y = fi{a,b).

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On pourrait attribuer à ces paramètres des valeurs telles que le point M coïncidât avec un point quelconque du plan ayant pour coordonnées x^ et y^; il suffirait, pour cela, de déterminer a et b à l’aide des deux équations

Le point M décrirait ainsi tout le plan et non une ligne déterminée dans le plan.

On comprend bien par là comment il est nécessaire, lorsqu’on emploie n paramètres variables, que ces n paramètres soient liés par n — i équations de condition distinctes; car si on pouvait réduire ces équations de condition à un nombre moindre, deux paramètres au moins seraient arbitraires.

Il peut arriver que les deux lignes variables A et B se coupent en plusieurs points; le calcul précédent donne le lieu décrit par l’ensemble de ces points.

PROBLÈME I

102— Etant donnés un angle XOY et un point fixe P dans le plan (fig. 62), par le point P on mène une sécante fixe PBA et une sécante mobile PDG, on mène les droites AD, BC; trouver le lieu de leur point de rencontre M.

Prenons les droites OX et OY pour axes des coordonnées, et

désignons par ic, et yj’.les coordonnées du point P. La sécante fixe PBA aura une équation de la forme

dans laquelle le paramètre a a une valeur constante. De même la sécante mobile PDG sera représentée

y — î/i — (x Xx),

dans laquelle m désigne un paramètre variable. Si, dans chacune de ces équations, on fait successivement y =0, x = o, on obtient les coordonnées des points où ces droites rencon-

rent Ica axes des coordonnées,

B, x — o, ÿ = y, — ox„

G, y = o, x=iT.—

D, x = o, y = y^~tnx^.

En appliquant la formule du n° 67, on a les équations des IroilesAD, CB,