Vx-mXi

y, — ax^

Les valeurs de x et y, qui vérifient les deux équations simultanées (i) et (2), sont les coordonnées du point d’intersection M des deux droites AD et BC; ces coordonnées varient avec le paramètre arbitraire m. Si l’on retranche les deux équations membre à membre, on obtient l’équation

y, — ax^

ou plus simplement

(y, — mx.Hÿ, — O®,)

(y,a;-4-ic,y) = o

qui, jointe à l’équation (i), forme un système équivalent au système des deux équations (i) et (2). Tant que le paramètre m a une valeur différente de a, le premier facteur étant différent de zéro, les coordonnées æ et y du point M doivent annuler le second facteur. Ainsi, les coordonnées de chacun des points du lieu vérifient l’équation

‘y^x-lrx^y = o,

CC it/j

Ce lieu est une droite OL passant par l’origine.

Quand m=a, le système des deux équations (i) et (2) se réduit à l’équation (i); les deux droites AD et BC coïncident et leur point d’intersection est un point quelconque de la sécante fixe PA .

Si l’on avait fait l’élimination d’une autre manière; si l’on avait, par exemple, tiré la valeur de m de l’équation (i) pour la porter dans l’équation (2), on aurait obtenu une équation du second degré, dont le premier membre serait décomposable en deux facteurs du premier degré et qui, par conséquent, représenterait deux droites, le lieu OL et la droite PA, Cette équation serait

On voit que l’équation (4) ne contient pas le paramètre constant a; il en résulte que le lieu est indépendant de la position particulière attribuée à la sécante fixe PA. On en conclut le théorème suivant : Étant donnés un angle XOY et un point fixe P dans son plan, si par le point P on mène deux sécantes quelconques PA, PC, le point de rencontre M des deux droites AD et BG est toujours situé sur une même droite OL.

Nous remarquerons encore que l’équdtion (4) ne dépend que

du rapport c’est-à-dire du coefficient angulaire de la droite

OP. Ainsi le lieu OL restera le même, si l’on déplace le point P sur la droite OP passant à l’origine.

103 — On peut traiter cette question d’une manière plus rapide. Supposons que l’on ait tracé dans le plan deux axes quelconques. Représentons, pour abréger, par a = o, p = o les équations des droites données OA et OB, et par y = o celle de la sécante fixe PA. On déterminera le point donné P, non plus par ses coordonnées, mais par l’intersection des deux droites données PA et OP; cette dernière, passant par le point d’intersection 0 des droites OA et OB, a une équation de la forme p -f-aa = o. La sécante mobile PC, menée par le point d’intersection P des deux droites p-t-aa = o, y = o, est représentée par une équation de la forme

(i) p-haa-t-mY = o,

dans laquelle m désigne un paramètre arbitraire. Le point C, où

celle sécante coupe la droite OA^ est donné par les deux équations simultanées a = o, p-t-aa-t-niY = o, ou plus simplement a = o, P-t-mY = o; celte dernière équation représente une droite passant par le point C, et aussi par le point d'intersection B des droites P = o, y = o; c’est donc l’équation de la droite BC. De même, le point D, où la sécante mobile coupe la droite OB, est donné par les deux équations simultanées P=o, jH-a(x-t-mY = o, ou plus simplement P = o, aa-f-my = oj la droite représentée par cette dernière équation, passant aussi par le point d’intersection A des droites a — o, y = o, n’est autre chose que la droite AD. Les deux droites mobiles BC et AD, dont l’intersection détermine un point M du lieu, ont donc pour équations

(2) P -t- my = O,

(3) aa-|-my = o.

On obtiendra l’équation du lieu en éliminant le paramètre m entre ces deux équations; si on les retranche membre à membre, on obtient l’équation

(4) P — aa = o.

On en conclut que le lieu est une droite passant par le point O, Cette droite est indépendante de y, c’est-à-dire de la sécante fixe PA, et elle est la même quelle que soit la position du point P sur la droite OP.

Nous avons supposé que le paramètre m a une valeur finie, si Ton remplace m par et, qu’apres avoir multiplié par q, on

fasse q =0, les équations (i), (2), (3) se réduisent à y = o; la sécante mobile coïncide avec ,1a sécante fixe PA, ainsi que les deux droites BC et AD.

PROBLÈME II

104 — Les côtés d'un triangle variable ABC tournent autour de trois points fixes P, P', P”, situés en ligne droite, tandis que deux des sommets A et B glissent sur deux droites fixes ID et lE; trouver le lieu décrit par le troisième sommet C (fig. 63). Traçons dans le plan deux axes quelconques, et, pour abré-

ger, représenlons, comme précédemment, par a = o, ^ = o

les équations des droites données ID, lE, et par y==o celle de la droite PP' P"; chacun des points fixes P, P', P" peut être défini par Tintersection de cette droite et d’une droite passant par le point I; le point I étant le point d’intersection des droites o=o, P=o, les droites IP, IF, IP" ont des

équations de la forme

P-f-aa=o, {J-|-a'a = o, p-|-a"a=:o,

dans lesquelles a, a', a" désignent des coefficients constants. Pour construire une position particulière de la figure variable, on mènera par le point P une droite arbitraire PA, puis on tracera les droites AP' et BP" dont l’intersection donnera un point C du lieu. Le point P étant l’intersection des deux droites Y = o, p-f-aa = o, la droite PA, menée par ce point, aura une équation de la forme

(1) p-f-aa-|-my = o,

dans laquelle m désigne un paramètre arbitraire. Le point A, où la droite PA coupe la droite IA, est donné par les deux équations simultanées a = o, [i-i- aa -i- my = o, ou plus simplement a = o, p + my = o. La droite AP', passant par ce point, a une équation de la forme p -i- my -i- m'a = o; il faut déterminer le coefficient m' de manière que la droite passe aussi par le point P', défini par les deux équations y = o,

P -t- a'a = o; si dans l’équation de cette droite on fait y = o et P= — o'a, on a (m' — a')a = o; et, comme a n’est pas nulle, puisque le point P' n’est pas sur la droite a = o, on a m' — a' = o; on prendra donc m'=o'. Ainsi, la droite AP' est représentée par l’équation

(2) p-f-a'a-t-my = o.

De même, le point B, où la droite PB coupe la droite IB, est donné par les deux équations fi = o, p -t- aa-f-my = 0, ou

i.lEU\ GEOMETRIQUES. »3

plus simplement fi = o, aei -hmy = o; la droite BP", passant par ce point, a une équation de la forme aa4-mY + m"{i = o; on déterminera le coefficient m" de manière que celte droite passe parle point P", intersection des droites y =o, p-(-a"a=o; si, dans celte équation, on fait y = o et fj = — o"a, on a

(a — m"a") a = o; on prendra donc m"= ainsi, la droite

Gt

BP' est représentée par l'équation

(3) ^(fi-l-a"a)-i-my=o.

Ixs équations (2) et (3) sont les équations des deux droites mobiles AP' et BP", dont rinterseclion donne un point quelconque C du lieu ; on obtiendra l’équation du lieu en éliminant le paramètre arbitraire m entre ces deux équations; si on les retranche membre à membre, on a l’équation

(4) (0' — a] o"a -I- (0" — a) fs = o.

On en conclut que le lieu cherché est une droite passant par le point I.

10«K — Corollaire 1. On déduit de ce qui précède la solution de ce problème : Inscrire dans un triangle IDE un second triangle dont les côtés passent respectivement par trois points donnés P, P', P" en ligne droite. Si l’on conçoit un triangle variable dont les côtés soient assujettis à passer par les points P, P', P", tandis que deux des sommets A et B glissent sur les droites ID, lE, le lieu du troisième sommet C est une droite IC. Le point de rencontre C, des droites IC et DE est donc l’un des sommets du triangle cherché; les droites C,P', C,P" donnent les deux autres sommets A, et B,. 11 est à remarquer que cette solution n’exige aucun autre instrument que la règle.

Corollaire 11. On peut aisément généraliser le problème précédent. Considérons un quadrilatère dont les quatre côtés pivotent autour de quatre points fixes P, P, P, P'" situés en ligue droite, tandis que trois sommets A, B, C glissent sur trois droites fixes R, S, T; et proposons de chercher le lieu décrit par le quatrième sommet D (lig. 64).

Les trois côtés du triangle BCE pivotent autour des trois

points fixes P, P", F", tandis que deux sommets B et G glissent

sur les droites fixes S et T; le sommet E décrit donc une droite EF.

D’après cela, les trois côtés du triangle AED pivotent autour des trois points fixes P, P', P", tandis que deux sommets A et E glissent sur les deux droites R et EF; le sommet D décrit donc !■’*« w. une ligne droite.

Du quadrilatère on passera de la même manière au pentagone. Ainsi, quand les n côtés d"un polygone pivotent autour des n points fixes situés en ligne droite, tandis que n — i sommets glissent sur n — i droites fixes, le n™* sommet décrit une ligne droite.

On en déduit le moyen d’inscrire dans un polygone de n côtés un autre polygone de n côtés passant respectivement par n points fixes en ligne droite.

PROBLÈME ni.

t06 — Étant donné un triangle ABA', par un point fixe O pris sur un côté AA' on mène une sécante mobile OCC', on fait passer un premier cercle par les trois points O, A, G et un second cercle par les trois points O, A', G'; trouver le lieu du point d’intersection M de ces deux cercles (tig. 65).

Prenons la droite OA' pour axe des X et une perpendiculaire OY menée par le point 0 pour axe des y. Si l’on appelle a et a' les abscisses des points A et A', les deux droites fixes AB, A' B seront représentées par les équations

et la sécante mobile OC par l’équation

(3) y = mx,

dans laquelle m désigne un paramètre variable. On obtient les coordonnées du point C en résolvant les deux équations simultanées (i) et (3), ce qui donne

ca nica

Tout cercle passant par les deux points 0 et A a une équation (le la forme

x’-f-y’ — ax — by = o,

dans laquelle le paramètre b est arbitraire. On détermine ce paramètre en exprimant que le cercle passe par le point C, ce qui donne

le cercle qui passe par les trois points 0, C a donc pour équation

, a (cm -t-i)

(4) x‘-hy^—ax — ^y = o.

Si, dans cette équation, on remplace a et c par a' et &, ou obtiendra évidemment Téquation du cercle qui passe par les trois points O, A', C',

(5) x^-hy'~a X

cf — m

Pour avoir l’équation du lieu du point d’intersection M des deux cercles, il faut éliminer le paramètre variable m entre les deux équations (4) et (o). En égalant les valeurs de m tirées des équations (4) et (5), on obtient l’équation

c {x*-t~y* — ax) — ay & y* — a x) — a' y

y* — ax)-hcay (x*-hy^ — a' x)->r d a' y'

qui, mise sous forme entière, s’écrit

(c — a') [(x* 4- y’ — ax) (x* H- ÿ* — a'x) -f- ad y*)

-4- ( 14- cd) y [o' (x*-i- y* — ax) — a (x* -4 y’ — dx) | = o

ou

(c — (/) [ (æ* -H ÿ‘)* — (a + a') x (x* -t- y’) -t- aa' (x* -+- y*) ]

(1 + cc') (o' — a) y (x'-hif) — o;

en mettant a:*-|- y* en facteur commun, et divisant par c — c', on a réquation

(6) y *— (a 4- oO x — ^ — ^y-t-aa j = o.

Cette équation se décompose en deux; l’une,

donne le point O où se coupent toujours les deux cercles mobiles; l’autre

(") + ÿ^) — (a H- oO Æ - 7 ^ y + aa^ = o.

est l’équation du lieu du point M. Ce lieu est un cercle.

Ou reconnaît à priori que les trois points B, A, A' appartiennent au lieu. Car, si la sécante mobile passe par le point B, les deux cercles se coupent en B; ce point fait partie du lieu. Supposons que la sécante devienne parallèle à la droite A^B, le point C' s’éloignant à l’inûni, le second cercle coïncide avec lu droite OA', qui coupe en A le premier cercle; on obtient de même le point A', quand la sécante devient parallèle à AB. Il est d’ailleurs facile de vérifier sur l’équation (7) que le lieu passe par trois points B, A, A'. Ainsi le lieu demandé est le cercle circonscrit au triangle ABA'.

PROBLEME iV.

lOy — Étanl donnés

un cercle et un point fixe P à l’intérieur du cercle, autour du point P on fait tourner un angle droit APB; on joint par une droite les deux points A et B, où les côtés de l'angle droit rencontrent le cercle, et on abaisse du point P une perpendiculaire PM sur la droite AB; trouver le lieu du pied M de la perpendiculaire (fig. 66).

Prenons pour axe des x le diamètre

OP, pour axe des y un diamètre perpendiculaire; le cercle donné est représenté par l’équalion

(I) x^--hy'-=r\

Soit (2) y = ax-\-h

l’équation de la sécante AB. Si l’on élimine y entre les deux équations (i) et (2), on obtient une équation du second degré

(3) (i -|-a’)x’H-2aèa; + 6* — r’ = o,

dont les racines sont les abscisses x' et x" des points A et B; les ordonnées et y" auront pour valeurs ax'-\-b, ax"-\-b. Si l’on appelle c la longueur constante ÜP, les deux droites PA, PB ont pour coefficients angulaires

y' y" ax'-hb ax"-hb

—r — ’ — ’ OU ’ — — ;

l’angle APB étant droit, on a la condition

{ax' ■+■ b) fax"-!- b)

qui s’écrit

(i -t- a*) x'x’-t- (o6 — cHx'-t-x") = o;

si l’on remplace x'4-x" et x'x" par leurs valeurs tirées de l'équation (3), on obtient la relation

(4) (n-a*)(c’ — r’)-+-2è(ac-f-è) = o, qui lie les deux paramètres variables a et b.

La perpendiculaire PM, abaissée du point P sur la droite AB, a pour équation

U point M est déflni par les équations (2) et (5), dans lesquelles les paramètres variables a et 6 satisfont à l’équalion (4) ; on «hlient l’équalion du lieu du point M en éliminant ces deux paramètres entre les trois équations (2), (4), (5). De l’équation

'3)onlire a= — ; de l’équation (2) on déduit ensuite

l=- — En portant ces valeurs dans l’équalion (4),

on obtient l’équation

qui se décompose en deux; Tune, j/®4-(æ — c)* = o, donne le point P; l’autre,

(7) x^ + if — cx-\ = 0

représente le lieu cherché.

Il est évident que le point P n’appartient pas au lieu géométrique tel qu’on l’a défini ; mais il est facile de comprendre comment l’analyse l’introduit dans le résultat. Les coordonnées x — c, y = o du |)oint P vérifient l’équation (5), quels que soient les paramètres; on pourra donc déduire des deux équations (2) et (4) des valeurs correspondantes des deux paramètres a et b; on trouve ainsi a=±i, b= — ac. C’est une application de la remarque faite au n“ 98.

L’équation (7) montre que le lieu est un cercle ayant son centre sur la droite OP. Pour le construire, il suffit de déterminer les deux extrémités du diamètre CD; si l’on mène des droites AB', BA' faisant des angles de 43“ •ivec le diamètre OP, les cordes AA', BB', étant perpendiculaires sur ce diamètre, donneront les deux points C et D.

On obtient le môme cercle en cherchant le lieu du milieu M' de la corde AB. En effet, ce point milieu est déterminé par l’intersection de la corde AB et de la perpendiculaire abaissée du centre sur cette corde. Ces deux droites ayant pour équations

y = ax + b, y=—lx,

on obtiendra l’équation du lieu en éliminant les deux paramètres variables a et b entre ces deux équations et l’équation (4), ce qui conduit à l’équation

(x‘ -h y’) -I- y‘ — ex -4- ^ = o,

qui se décompose en deux, donnant l’une le point 0 étranger au lieu géométrique, l’autre le cercle.

108 — Remarque. La circonstance que nous venons de signaler se présentera toutes les fois que l’une des deux courbes variables A et B, dont l’intersection donne un point M du lieu (n“ 98), passera par un point fixe P. En effet, supposons que les équations des deux lignes contiennent n paramètres variables liés entre eux par n — i relations; si les coordonnées

et y, d’un point fixe P satisfont à l’équation de la ligne A, quelles que soient les valeurs des paramètres, en remplaçant .r et y par et y, dans l’équation de la ligne B, on aura une équation qui, jointe aux n — i équations de condition entre les paramètres, formera un système de n équations pour déterminer les valeurs de ces paramètres. Ce point P sera étranger au lieu géométrique proprement dit, si aux valeurs trouvées ne correspondent pas de lignes réelles.

Dans ce cas, il arrive quelquefois que le point P entre dans l’équation par un facteur particulier que l’on peut supprimer; après la suppression de ce facteur, l’équation représente le lieu géométrique lui-même. Mais souvent il est impossible de décomposer en deux facteurs le premier membre de l’équation, elle point P doit être considéré comme un point isolé lié à la courbe.

PROBLÈME V

109 — Trouver le lieu des points tels que les pieds des perpendiculaires abaissées de chacun d’eux sur les trois côtés d’un triangle ABC soient en ligne droite.

Soient

(ajcosa-t-y sino — p,= o,

X cos6 H- y sinfc — P, = o, xcosc -f-y sine — Ps = o.

les équations des trois côtés du triangle rapportées à deux axes rectangulaires quelconques, et, pour abréger, désignons par a, P, Y les premiers membres de ces équations. Appelons x et y les coordonnées d’un point M du lieu, x, et y„ æ, et y,, X, et y, celles des pieds des perpendiculaires abaissées du point M sur les côtés du triangle, on a (n° 83),

x^ — x = acosa, X, — x = jîcos6, æ, — a: = YCOsc, y, — y = asino, y, — y = Psinô, y, — y = ysinc.

ioo LIVRE II, CHAPITRE III.

Nous obtiendrons l’équation du lieu en exprimant que ces trois j)oints sont en ligne droite. Il faut pour cela égaler les

deux rapports ■> que l’on peut mettre sous la

forme

[y, — y) — (y. — v) (.Va — v) — iv, — v)

On a ainsi l’équation

Psin6 — asina y sine — asina

ficos6 — acosa — acosa

ou

(2) ap sin (I» — a) + fJy (c — 6) -1- sin (a — c) = o.

Les lettres a, y désignant des polynômes du premier degré en X et y, on voit que l’équation (2) est du second degré. Le coefQcient du terme en xy est

sin [a -H h) sin (6 — a) -+- sin [h -h c) sin (c — 6) -t- sin (c 4- a) sin (a — r si l’on transforme les produits de sinus en différences de cosinus, ce coeflicient devient

(cos 2 a — COS26) (COS26 — C0S2C) -H (C0S2C — cos 20) .

il est égal à zéro. Les coefficients des termes en x’ et en y* sont

A = cos O cos ô sin (6 — o) -!- cos 6 cosc sin (c — ô) -f- cosc cos o sin (a — < B = sin O sin 6 sin (6 — o) 4- sin b sin c sin (c — ô) -f- sine sin a sin [a — 1

Si on calcule leur somme et leur différence, on a A — B = cos (a H- 6) sin (ô — o) 4- cos(6 4- c) si n (c — ô) 4- cos (c -1- a) sin (a -

siii2Ô — sin2 0 4-sin2c — sin26 4-sin2fl — sin2C

A -h B = cos (O — ô) sin (6 — o) -4 cos (6 — c) si n (c — 6) 4- cos (c — O) si n (a -

pi n 2 (6 — o)-4-sin2(c — 6) -4- sin 2(0 — c)

= — 2 sin (5 — o) sin (c — b] sin.fo — c);

on en déduit

A = B =— sin (6 — a) sin (c — b) sin (o — c).

Ainsi, le lieu est une circonférence de cercle. L’équation (2)

étant vériflée quand on y fait P = o, y = o, le point A ai>partient au lieu; il en est de même des points B et G; le lieu est donc le cercle circonscrit au triangle ABC.

HflO — Il faut remarquer cette forme de l’équation du cercle circonscrit à un triangle. Le premier membre a une signification géonjétriquc très-simple. Pour préciser, supposons que l’origine des coordonnées soit placée à l’intérieur du triangle ABC (fig. 67) et que les angles a, 6, c, compris entre o et 2-, soient rangés par ordre de gran- Fig. 67. clcur croissante. Considérons un point M

ayant pour coordonnées x cly et situé aussi à l’intérieur du triangle; de ce point abaissons des perpendiculaires sur les côtés et joignons les pieds de ces perpendiculaires pour former le triangle DEF. Les lettres a, p, y désignent les longueurs de ces perpendiculaires affectées ici du signe — ; ces perj>endiculaires sont d’ailleurs dirigées dans le même sens que celles qui ont été menées de l’origine et qui ont servi a détermiticr les angles a, b, c. Le terme afisin(6 — a) étant égal à Ml) X ME X sinDME représente le double de l’aire du triangle DME ; les deux autres termes représentent de même les doubles •les triangles EMF, FMD; ainsi, le premier membre de l’équation (2) représente le double de l’aire du triangle DEF.

Considérons maintenant un point M' situé à l’extérieur du triangle ABC. On a, dans ce cas, a= — M'D', — M'E',

y =-t-M' F'; le premier membre de l’équation représente le double de la différence qui existe entre le triangle D'M'E' cl la somme des deux triangles E'M'F', F'M'D'; c’est encore le •louble de l’aire du triangle D'UT' affectée du signe -j- ou du signe Ainsi, quelle que soit la position du point M dans le plan, le premier membre de l’équation représente le double de Faire du triangle DEF affectée du signe -f- ou du signe — . L’équation (2) exprime donc que Faire du triangle DEF est nulle; c’est-à-dire que les trois points D, E, F sont en ligne droite.

Si l’on appelle r le rayon du cercle circonscrit au triangle

ABC, et d la distance d’un point ayant pour coordonnées x et 7/ au centre de ce cercle, le premier membre de l’équation (2) pouvant être mis sous la forme

est égal à A (fP — r-). Cette expression conserve le même signe, tant ([lie la distance d est moindre ([UC r, c’est-à-dire tant que le point M reste à l’intérieur du cercle, et elle prend un signe contraire quand le point M passe à l’extérieur,

11 résulte de ce qui précède que le lieu des points tels que l’aire du triangle ayant pour sommets les pieds des trois perpendiculaires soit égale à une quantité donnée k- se compose de deux cercles représentés parles équations

a.^ sin [h — a) -f- jîy sin (c — à) -|- ya sin (a — c) =±^k-.

Ces deux cercles sont concentriques au cercle circonscrit au triangle ABC; l’un est extérieur et toujours réel, quelle que soit l’aire donnée; l’autre est intérieur et n’est réel que si

l’aire donnée est moindre que la valeur absolue de

EXERCICES

1“ Exprimer faire d’un triangle et d’un polygone quelconque en fonction des coordonnées des sommets.

2» Trouver faire d’un triangle formé par trois droites dont 011 donne les équations.

3“ Étant donnés dans un plan n points A, B, G,. .. et n quantités ni', m", m'",. .. qui correspondent à ces n points; sur la droite AB on prend un point Ni, tel que les distances de ce point aux deux premiers points soient dans le rapport de m' îi m"; puis sur la droite NiG qui joint N, au troisième point on prend un point N, tel que scs distances aux points Ni et G soient dans le rapport de m'" à ni'-|-m"; puis sur la droite N,D qu, joint le point N, au quatrième point D un point N3 , tel que ses distances aux points NjCt D soient dans le rapport de m" à m'-[- m" -j- m'", et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on soit arrivé au dernier point donné; trouver les coordonnées du dernier point do division que fon appelle centre des distances proportionnelles.

Lorsque les multiplicateurs ni', m", ni"', ...sont égaux entre eux, le dernier point de division s’appelle centre des moyennes distances.

Gomme application, trouver le centre des distances proportionnelles des

trois sommets d’un triangle, en déduire le centre de gravité, le centre du cercle inscrit, le point de rencontre des trois hauteurs, et le centre du cercle circonscrit.

4o Trouver le lieu des points tels que la somme des produits des carrés des distances de chacun d’eux à n points donnés par des quantités constantes m' , m", m'",. . . soit égale h une quantité donnée.

5° Lieu des centres des cercles qui sont vus de deux points donnés sous des angles donnés.

6» Lieu des centres des cercles qui rencontrent, en des points diamétralement opposés, deux cercles donnés.

7» Lieu des points tels que la somme des distances de chacun d’eux à deux droites et en général h plusieurs droites données soit constante.

8“ Sur deux droites rectangulaires OX, OY on construit un rectangle variable OABC ayant un périmètre donné -a, la perpendiculaire menée au sommet C sur la diagonale AB passe par un point fixe.

9» Ayant fait la figure qui sert à démontrer le théorème du carré de l'hypoténuse d’un triangle rectangle, démontrer que les deux droites qui joignent les exirémités de l'hypoténuse aux sommets {les carrés construits sur les côtés opposés se coupent sur la perpendiculaire abaissée du sommet de l’angle droit sur l'hypoténuse.

10» D'un point fixe P on mène des tangentes aux cercles qui passent par deux points donnés; trouver le lieu du point où la corde des contacts rencontre le diamètre qui passe au point P.

Il» Etant donné un hexagone régulier ABCDEF, on joint AC et AE; parle centre on mène une sécante quelconque qui coupe les deux droites •AC et AE aux points G cl 11 ; on joint BG et Eli ; trouver le lieu du point de rencontre de ces deux droites.

12» Les circonférences décrites sur les trois diagonales d’un quadrilatère complet, comme diamètres, ont même axe radical.

13» Étant données cinq droites, on en prend quatre qui für(nenl un quadrilatère complet, dans lequel les milieux des trois diagonales sont en ligne droite; les cinq droites ainsi obtenues sè coupent au même point.

li° Étant donnés trois points A, D, C, et deux droites X, Y'; sur AB comme diagonale, on construit un parallélogramme dont les côtés sont parallèles h X et Y’; on opère de même avec lî, C et C, A; les secondes diagonales des trois parullélugramiiics passent au même point.

13° Étant données quatre droites A, B, C, I), on en prend trois pour tonner un triangle, dont on détermine le point de concours des hauteurs; les quatre points ainsi obtenus sont en ligne droite.

16» Étant donnés deux cercles lixes, deux cercles variables sont tangents

lOi LIVRE II, CHAPITRE III.

entre eux et aux précédents ; trouver le lieu du point de contact des cercles variables.

<7» On prend quatre points arbitraiiement sur une circonférence, les bissectrices des trois couples de droites qui passent par ces quatre points sont parallèles deux à deux,

18o Lieu du point tel que les cordes de contact des tangentes menées de ce point è trois cercles donnés se coupent en un même point.

19» On donne nn angle AOA' et un point G sur la bissectrice. Un angle de grandeur constante tourne autour de son sommet placé en C, on joint les ]ioints de rencontre B et B' des côtés de l’angle mobile avec les côtés de l’angle fixe, du point C on abaisse une perpendiculaire sur BB'; trouver le lieu du pied de la perpendiculaire.

20“ Oo donne quatre droites A, B, C, D, qui, prises trois à trois, forment quatre triangles. La droite A appartient à trois de ces triangles, on joint le centre du cercle circonscrit à chacun deux au sommet non situé sur A; les trois droites ainsi obtenues se coupent en un même point I; les quatre points analogues à 1 et les centres des quatre cercles sont sur une même circonférence.

21“ Étant donnés divers cercles qui, pris deux à deux, admettent le même axe radical; si un cercle variable coupe deux de ces cercles sous des angles constants, il coupera également chacun di s autres cercles sous un angle constant.