GENRE ELLIPSE

119 — Considérons d’abord le cas où le coefficient M, qui est égal à B* — 4 AC, aune valeur négative. L’ordonnée Y n’est réelle que si le trinôme a une valeur positive. Pour reconnaître le signe du trinôme, quand x varie, on lui donne diverses formes; c’est pourquoi le cas que nous examinons se subdivise à son tour eu trois autres.

1® N* — .MP> O. Les deux racines du trinôme sont réelles et inégales. Désignons par x' la plus petite et par x" la plus grande; le trinôme peut s’écrire

M (x — a/) (x — x"), ou — M (æ — x') (x" — ar) ;

le trinôme est positif, et par conséquent l’ordonnée Y est réelle pour toutes les valeurs de x comprises entre x' et x"; le trinôme est au contraire négatif, et l’ordonnée imaginaire, pour toute valeur de x plus petite que x', ou plus grande que x".

Prenons sur l’axe des x deux points P' et P" ayant pour abscisses x' et x"; et par les |)oints P' et P' menons des parallèles P^A', P' A" à l’axe des ÿ; la courbe sera tout entière comprise entre ces deux parallèles. L’abscisse x variant de x' il x", l’ordonnée Y’ conserve une valeur finie, et part de la valeur zéro pour revenir à zéro; on a ainsi une courbe fermée qui passe par les points A' et A", et à laquelle on a donné le nom d’ellipse.

Une valeur de x comprise entre a/ et x" sera l’abscisse d’un point P compris entre P' et P", et la valeur correspondante de Y sera égale à

2Li

Le produit variable PP'xPP" des deux segments de la droite P' P" est égal au carré de l’ordonnée du cercle décrit sur FP"

LIGNES DU SECOND DEGRÉ

comme diamètre; quand le point P va de P' au point I, milieu de PP", l’ordonnée du cercle, et par suite la quantité Y qui lui est proportionnelle, va en augmentant; elle diminue au contraire quand le point P va de I en P". La quantité Y acquiert donc sa valeur maximum, quand le point P est en I, c’est-àx> -\-x" N

dire quand x — — ^ — = — jj; cette valeur maximum est

égale à

• A partir du point G, milieu du dia-

mètre A' A", portons sur l’ordonnée, et de part et d’autre, une longueur égale à cette valeur maximum, nous aurons deux points B' et B" de la courbe, et en menant par ces points des parallèles au diamètre, nous formerons un parallélogramme FGKII, dans lequel sera comprise l’ellipse.

H est clair qu’à deux points P et Q également distants du milieu I correspondent des valeurs égales de Y; ces valeurs, portées de part et d’autre du diamètre DD', donnent les quatre points M, M', N, N'. Les deux triangles CRM, CSiV, étant égaux, les trois points M, C, N' sont en ligne droite et le point C est le milieu de MN'; ainsi tous les points de la courbe sont deux à deux symétriques j)ar rapport au point C, milieu du diamètre ce point C est donc le centre de l’ellipse. On voit également que les droites MN, M'N' sont parallèles au diamètre A'.V" et partagées chacune en deux parties égales par la droite B' R"; cette droite est un second diamètre. Les deux diamètres A' A", B' B", qui partagent chacun en deux parties égales les cordes parallèles à l’autre, sont dits diamètres conjugués de l’ellipse.