COURBES DU SECOND DEGRÉ. H

Dans le cas où M est égal à zéro, l’équalion (i) peut se mettre sous l’une des trois formes

(12) (2C]/-4-Bx + E)’-t-2Na; + P = o,

(13) (2Cy-t-Bx + E)*H-P = o,

(14) (2Cy-l-Bx-i-E)* = o.

131 — Nous avons supposé dans ce qui précède que le coefficient C est différent de zéro. Lorsque le coefficient C est nul, et le coefficient A différent de zéro, on pourrait résoudre l’écjuation par rapport à x etconstruire le lieu comme précédemment; le premier terme du trinôme placé sous le radical ayant pour coefficient B®, et par conséquent ayant une valeur positive ou nulle, le lieu sera du genre hyperbole ou du genre parabole. Mais il est préférable de résoudre l’équalion par rapport à la variable qui n’y entre qu’au premier degré; d’ailleurs celle nouvelle méthode est seule applicable quand les deux coefficients A et C sont nuis à la fois.

En ordonnant l’équation (1) par rapport à y, on a

(Bx-i-E)y-f-Ax’-t-Dx-4-F = 0,

,, . Ax®-+- Dx F

dou 1/= n r; •

Bx-hE

Supposons d’abord que B soit différent de zéro, et effecluons la division, en ordonnant par rapport aux puissances décroissantes de X jusqu’à ce que l’on arrive à un re.ste indépendant de X. Nous distinguerons deux cas, suivant que le reste est différent de zéro ou égal à zéro. Dans le premier cas, on obtiendra un résultat de la forme

y = ax-

ax-

Bx-^E ' “ ' x~d

Pour fixer les idées supposons 00. Construisons le lieu auxi-

liaire défini par l’équation y = ax -|- i», et posons Y = — ^ — -

L’équation y — ax-\-b représente une droite DD' (fig. 72); pour chaque valeur de x, il faut augmenter l’ordonnée de cette droite d’une quantité QM égale à la valeur de Y. Cette quantité devient infinie pour x = d; prenons donc un pointe ayant

pour abscisse d et menons CC^ parallèle à OY. Si l’on donne à x

une valeur d + x', x' étant positif, Y a une valeur positive, et quand x tend vers zéro, A' augmente indéfiniment; si, au contraire, X augmente indéfiniment, \ tend vers zéro ; on obtient ainsi une branche de courbe comprise dans l’angle C'ID' et formée de deux arcs infinis asymptotes respectivement aux deux droites IC' et ID'. Aux valeurs de x inférieures à d correspondent des valeurs négatives de et l’on obtient une seconde branche comprise dans l’angle CID, et formée de deux arcs infinis asymptotes aux droites IC, ID. A deux valeurs de x' égales et de signes contraires, correspondent des valeurs de Y’ qui sont aussi égales et de signes contraires, et, par suite, deux points M et M' symétriques par rapport au point I, qui est centre de la courbe. Si la constante c était négative, on obtiendrait encore une courbe formée de deux branches infinies; mais ces deux branches seraient situées dans les angles C'ID, CID'. Dans les deux cas, la courbe est une hyperbole.

1S2 — Lorsque le reste de la division est nul, on a

Aa;*-l-Dx-hE = — (Bæ-i-E) (ax-+-b),

et l’équation prend la forme {y — ax — b) (Bæh-E) = o ; elle se décompose en deux autres y — ax — 6 = o, B a; E = o, qui représentent deux droites, dont l’une est parallèle à l’axe des y.

Lorsque A est nul en même temps que C, il suffit de faire dans la discussion précédente a = o; la droite DD' devient parallèle à l’axe des x; on obtient ainsi, soit une hyperbole ayant ses asymptotes parallèles aux axes des coordonnées, soit deux droites respectivement parallèles aux axes.

123 — Supposons maintenant que le coefficient B soit égal à zéro, en même temps que C. Le coefficient A est nécessairement différent de zéro, autrement l’équation serait du premier degré. La valeur de y est de la forme y = ax’-+- bx-i-c;

COURBES DU SECOND DEGRÉ. id5

elle est réelle quelle que soit la valeur de x-, en faisant varier a: de — oo à -i-oo, on obtient une branche infinie; c'est une parabole.

124 — Remarque. Dans la discussion de l’équation du second degré, nous avons trouvé trois espèces de courbes : des courbes fermées, des courbes formées de deux branches infinies, et des courbes n’ayant qu’une branche infinie. Nous avons appelé ellipses toutes les courbes fermées données par l’équation du second degré; hyperboles toutes les courbes formées de deux branches infinies; et paraboles toutes celles qui n’ont qu’une brafiche infinie.

Nous avons vu au commencement de cet ouvrage (liv. I, chap. n) que les courbes désignées par les mêmes noms en Géométrie élémentaire sont rc[)résentées par des équations du second degré. Nous verrons plus tard que, réciproquement, toutes les courbes représentées par l’équation du second degré jouissent des propriétés qui servent de définition en Géométrie élémentaire, de telle sorte que les deux modes de définition sont équivalents.

En résumant la discussion, on voit que c’est le signe de la quantité B* — qui indique l’espèce de la courbe repré-

sentée par l’équation du second degré; la courbe est une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que la quantité B*— 4-\C est négative, positive ou nulle.

Toutefois, il importe de se rappeler que l’équation ne représente pas toujours une courbe ni même un lieu; dans le cas où la quantité B* — 4^0 est négative, l’équation représente une ellipse, ou un point, ou n’admet pas de solution réelle; dans le cas où la quantité B’ — 4 AC est positive, l’équation représente une hyperbole ou deux droites qui se coupent; enfin, dans le cas où B* — 4AC = o, l’équation représente, soit une parabole, soit deux droites parallèles, ou une seule droite, ou elle n’admet pas de solution réelle.