TANGENTES AUX COURBES DU SECOND DEGRÉ

195 — Soit f{x, y) = o l’équation d’une courbe; si l’on appelle a; et y les coordonnées du point de contact M,X et Y les

coordonnées variables d’un point quelconque de la langenle, nous avons vu (n“ 89) que la tangente est représentée par l’équation

(X-x)/-i-HY-y)A; = o, ou X /■' -t- Y /■; — {xfl 4- y fl) = O,

Lorsque la courbe est du second degré, on a

f{x, j/) = AÆ*-(-Ba:ÿ-l-Cy-4-Da:-t-Ey-|-F; fl = 2.\x -+-By -hD, /■/= Bx-f- aCy-f- E, j/'i -t- y/l = 2 A X* + 2 B xy + aCy’ + D H- E y.

Le point de contact M étant situé sur la courbe, ses coordonnées X et y vérifient la relation

(i) Ax’-t-Bxy-l-Cy’-t-Da:-|-Ey H-F = o; on en déduit

Ax*-t-Bxy -t-Cy’= — (Dx-t-Ey-i- F), et, par suite,

xf[+ yfl=— [Dx -\-Ey 2F).

L’équation de la tangente au point dont les coordonnées sont X et y devient ainsi

(2) (2Ax-l-By-t-D)X-|-(Bx-|-2Cy-l-E)Y-(-(Dx-|-Ey-|-2F) =o

On remarque que les coordonnées x et y du point de contact n’entrent qu’au jiremier degré dans cette équation. Comme cette équation peut être mise sous la forme

(3) (2 AX -H BY + D) X -H (BX -h 2CY + E) y 4- (DX + EY -f- 2F) = o,

on remarque aussi qu’elle ne change pas, quand on y remplace X et \ parx et y, et réciproquement.

426— Proposons-nous maintenant do mener des tangentes h la courbe par un point donné P non situé sur la courbe et ayant pour coordonnées x^ et y,. Prenons pour inconnues les coordonnées x et y de l’un des points de contact M ; ces coordonnées doivent vérifier l’équation (i); la tangente au point M est représentée par l’équation (2); cette tangente devant passer par le point P, les coordonnées de ce point vérifieront l’équation (2) ou l’équation (3), et l’on aura

(4) (2 Ax, -4 By, -4 B) X 4- (Bx, 4- Cy,-4 E) y -4 (Bx, -4 Ey, -4 2F) = 0

COUHBES Dü SECOND DECDÊ. 117

Les coordonnées a: et y sont donc délcrminées par les deux équations simultanées (i) cl (4). L’une étant du second degré, l’autre du premier degré, le système de ces deux équations admet deux solutions, et l’on peut mener par un point donné P deux tangentes à une courbe du second degré. La résolution de ces deux équations revient à chercher les points d’intersection des lignes définies par chacune d’elles; la première est la courbe proposée, la seconde une droite passant par les deux points de contact. On peut remarquer que l’équation (4) de la corde des contacts a la même forme que l’équation (i) de la tangente; il suffit de remplacer dans celle-ci les coordonnées du point de contact par celles du point P.

EXERCICES

1“ Construire les courbes représenlées par les équalions

xy-^-lx — 5y=0, j-* — 2xÿ-l-!/î-j-2x — 7=:0,

2ÿ’-}-7xj/-|-3Tl — 3ÿ-)-x — 2 = 0, x*-)-3xy — 2x = 0,

3x- — 5xÿ-|-2!/*-f-3x — 2ÿ = 0, 5x*-j-4xy-}-ÿ- — 2x-[-5 = 0,

2x* — 2xy-j-y>-|-2x-f-l=IO, — 2xy-f-ÿ2 — 2x-|-2y — 8 = o.

2“ Lieu du point dont l'ordonnée est moyenne proportionnelle entre les ordonnées correspondantes de deux droites données.

3° Trouver le lieu du centre d'un cercle qui coupe deux cercles donnés sous des angles donnés-

4* On donne un cercle tangent à deux droites rectangulaires OX, OY et deux points P et Q placés symétriquement par rapport h la bissectrice de l’angle; on mène au cercle une tangente quelconque qui coupe les côtés de l'angle en A et B; trouver le lieu du |)oiiit de rencontre des droites AP, BQ.

O» Le triangle ABC est circonscrit à un cercle donné, l’angle C est constant, le sommet B décrit une ligne droite ; quel est le lieu du sommet A?

6® Étant donnée la parabole (oa; -}- ôy)’ -f- dx -j- ci/ -|- /■ = 0 rapportée i« deux axes obliques dont l’angle est 0, on rapporte la courbe à son axe et à la tangente au sommet; l’équation prend la forme y’ = 2px; calculer la

constante p. Même question pour la parabole

Vi + V^='