CENTRE
■127 —Nous avons appelé cenlre d’une courbe un point fixe C par rapport auquel tous les points de la courbe sont symétriques deux à deux. En discutant l’équation générale du second degré, nous avons reconnu que l’ellipse et l’hyperbole ont un centre. Nous nous proposons maintenant de rechercher directement le centre d’une courbe du second degré, sans résoudre l’équation. La méthode que nous suivrons repose sur ce théorème : quand l’origine des coordonnées est centre d’une ligne du second degré, l’équation de la ligne ne contient pas de termes du premier degré.
Soit, en effet,
(i) Aa:’-f-Ba’ÿ-t-C2/’-|-Da;H-Ei/-t-F = o
l’équation d’une ligne du second degré ayant l’origine pour centre (fig. 73); l’équation d’une droite MJE menée par l’origine
est de la forme y = mx. L’élimination de y entre cette équation et celle de la courbe donne l’é- FiR. 73. quation
(2) (A-t-B»?i-t-Cm*)x®-i-(D-t-Em)a;-t-F = o,
qui détermine les abscisses des deux points de rencontre. L’origine étant le milieu de la droite MM^ l’équation précédente doit avoir scs deux racines égales et de signes contraires, ce qui exige que le coefficent de la première puissance de x soit égal à zéro; on a ainsi D -t- Em = o, et, comme cette condition doit être vérifiée pour une infinité de valeurs de m, on doit avoir séparément D = o, E = o. Réciproquement, lorsque CCS conditions sont remplies, l’équation (2) a ses deux racines
CENTRE, DIAMETRES ET AXES. 119
égales et de signes contraires, quelle que soit la valeur de m, et, par suite, l’origine est centre de la courbe.
fl ISS — Pour reconnaître si un lieu du second degré a un centre, on transportera les axes parallèlement à eux-mêmes en un point arbitraire dont nous désignerons les coordonnées par a et &, puis on examinera si l’on peut déterminer ces quantités de manière que la nouvelle équation ne renferme pas de termes du premier degré.
Les formules pour déplacer les axés parallèlement à euxmêmes sont x = a-\-x', y = b-i-i/. En substituant dans l’équation (i), on obtient l’équation nouvelle
î) + (2Âa-t- B6-+-D)a/+ (Ban- 2C6 -t-E) 1/
-|— A fl* -f- B fl 6 C 6* D fl -f— E b -f- 1' = o,
dont il importe de remarquer la composition. Désignons, ]>our abréger, jiar f{x, y) le premier membre de l’équation (i) qui est une fonction entière du second degré en x cl y; dans l’équation (3) les termes du second degré sont les mêmes que dans l’équation (i); les termes du premier degré ont pour coefficients les dérivées partielles de la fonction f{x, y) prises par rapport aux variables x et y, et dans lesquelles on a remplacé ces variables par a et b; enfin, le terme constant est la valeur que prend le polynôme f{x, y] pour x — a, y — b. L’équation (3) peut donc s’écrire ainsi
(4) Aa:/*-+-Bx'ÿ'-i-Cy'*-^/‘l(a, b)x'-\-f[{a, b)y'-^f{a,b) — o.
En égalant à zéro les coefficients de x' et de y', on obtient les deux équations du premier degré
1 2 A fl B ô — H D = o,
I Bfl'-+-2Cè + E = o.
On voit par là que l’on détermine le centre d'une courbe du second degré en résolvant les deux équations que l’on obtient en égalant à zéro les dérivées partielles du premier membre de l’équation proposée, prises par rapport àx et ày.
139-Si l’on considère a et i» comme des coordonnées variables, chacune des équations (5) définit une droite, cl il y a lieu de distinguer plusieurs cas.
120 LIVRE ll[, CHAPITRE II.
1* B- — 4AC^o. Les deux éfjualions sont véniîée? par un
système de valeurs de a et de b et par un seul; les deux droites se coupent et la liyne admet un centre et un centre uniijue dont les coordonnées sont
2CD — BE R'— 4 AC ’ o.AE — BR " ■“ R=— 4AC'
2® B- — 4AC = o. Les droites (5) sont parallèles ou se confondent; dans le premier cas le lieu n’a pas de centre; dans le second cas, il admet comme centre chacun des points de la droite définie par l’une des équations (5). 11 est facile de voir que, dans ce dernier cas, s’il y a un lieu, ce lieu se compose nécessairement de deux droites parallèles. Soit, en effet, CC' la droite, lien des centres (fig. 74), et M un point appartenant au lieu ; joignons le point M aux divers points de la droite CC', et prolongeons chacune de ces droites d’une longueur égale à elle-même, les points N, N', N",... ainsi obtenus, appartiendront encore au lieu; or, tous ces points sont situés sur une parallèle à CC'. En opérant de même avec le point N on aurait une seconde parallèle M.M'. D’ailleurs, l’équation (i) ne peut pas représenter d’autres points que ceux de ces deux droites; autrement une droite rencontrerait le lieu en plus de deux points. Si le point M était situé sur la droite CC', les deux parallèles se confondraient avec le lieu des centres.
ISO— Lorsque la courbe admet un centre, si l’on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes en ce point, l’équation SC simplifie et devient
(7) i/-T-Cy'‘-\-Vi = o, puisque les termes du premier degré disparaissent. Le ternie constant F, de la nouvelle équation a pour valeur F, = A fl* R flê -f- C b~ -H Dfl -)— E6 -t- F ,
CENTRE, DIAMÈTRES ET AXES
1 et h désignant les coordonnées du centre. Mais les (juantilés [ et h satisfont aux équations (5) ; si Ton multiplie les deux nombres de chacune d’elles respectivement par a et & et que ’on ajoute, il vient
2Ao*4- 2Ra& 4-2C6*+Da-t-E6 = o,
roù
Afl*+ Bfl& H— Cb*~
Da -I- Kb
;t, par suite.
Drt-H E6
11 est bon d’observer, qu’en remplaçant a ci b par leurs valeurs, on a aussi
AFA + CD’ — RRE -h F (B* — 4 AC) B» — 4AC
Lorsque le nouveau terme constant F, est nul, l’équalion se réduit à
(8) Aa?'--)-B'x')y'-)-C »/'-’ = O.
On en déduit
BdbVB»— 4.AC 2C
Si la quantité B* — 4 AC est négative, l’équation n’admet qu’une solution réelle x' = o, y' = o. Si la quantité B* — 4 AC est positive, l’équation représente deux droites passant par l’origine. Dans ce cas, l’équation (7), dans laquelle on attribue a la constante F, une valeur quelconque, définit une hyperbole; nous avons vu (n“ 117) que les asymptotes d’une hyperbole passent par son centre, et que les coefficienls angulaires en sont donnés par la formule
— B±VB*— 4AC
ces asymptotes ne sont autre chose que les droites représentées par l’équation (9) ou par l’équation (8). Ainsi, quand une équation du second degré représente une hyperbole rapportée à son centre, on obtient l’équation des asymptotes en suppri-, mantle terme constant dans la première équation.
DIAMÈTRES
131-Si Pon coupe une courbe d second degré par une série de droU( parallèles, le lieu des points milieux des cordes MM' terminées aux deu points de rencontre est iin diamèli de la courbe. Soit m le coefficient an gulaire des cordes, et
(i) y) = ^x*+Bxy-i-Ctf+Dx + Ey-hV — o
1 équation de la courbe. Si l’on transporte les axes parallèlt ment à eux-mêmes en un point arbitraire I du plan, ayant pou coordonnées a et b, l’équation de la courbe devient (n® 128)
(4) Aa/*-+-BÆ'y'+Cy'*-)-/':(a, b)x'+f[{a, b)y'-^f{a, 6)=c
Menons actuellement par l’origine I une parallèle MM' à la di rection donnée, l’équation de cette parallèle est r/ = ma/. L'é limination de y' entre celte équation et celle de la courbe con duit à l’équation du second degré
( 10) ( A -+- Bm + Cm*) -t- [fl [a, b) + fl{a,b)m]x>-hf{a,b)=o
qui donne les abscisses des points de rencontre. Pour que l’o rigine I soit le milieu de la corde MM' (fig. ^5), il faut qu( 1 équation précédente ait ses racines égales cl de signes con traires, c est-à-dire que a et 6 vérifient la relation
fi{a, b) -h mf'i, [a, b) = o-,
cette équation, devant être satisfaite par les coordonnées du point milieu de l’une quelconque des cordes considérées, est l’équation du lieu. Si l’on y remplace a et 6 par x et «, elle devient
(2 A a; 4- B y -h D) -t- m (B 27 -H 2 Cy -1- E) = O.
Cette équation étant du premier degré, on en conclut que le diamètre correspondant à une série quelconque de cordes pa- I allèles est une droite DD'. Appelons m' le coefficient angu-
CENTRE, DIAMÈTRES ET AXES. m
aire du diamètre, on aura la relation
2A + Bm
1ÏV — — ■ ' »
B+2Cm
132 — Remarque 1. La direction du diamètre varie, en jénéral, avec celle des cordes; cependant, lorsqu’on a
ir
ou B’ — 4àC = o,
c’esl-à-dire lorsque la courbe est une parabole, la valeur de m'
est constante et égale à 7:- Ainsi tous les diamètres de la
parabole sont parallèles entre eux.
133 — Remarque 11. Si le nombre donné m vériûait la relation
(i3) A-f-Bjm-Cm*=:o, d’où
m=-^±:^VB’-4AC,
Véquation (10) s’abaisserait au premier degré; chacune des droites parallèles à la direction donnée ne couperait la courbe qu’en un point, et il n’y aurait pas lieu de clierclier le diamètre correspondant à celte direction. Dans le cas de l’ellipse, les racines de l’équation (i3) étant imaginaires, la circonstance dont nous parlons ne peut se présenter; ainsi, à toute direction des cordes correspond un diamètre. Dans le cas de l’hyperbole, les racines de Téqualion(i3)donnentles directions des asymptotes; ainsi, une droite parallèle à l’une des asymptotes del’byperbole ne rencontre la courbe qu’en un point. Dans le cas de la parabole, l’équation (i3) a ses racines égales et la valeur de m est le coefficient angulaire commun à tous les diamètres; une droite menée dans cette direction ne rencontre la parabole qu’en un point.
134— Remarque 111. Les valeurs æ et y qui satisfont aux équations simultanées
2Aa:-|-By-l-D = o, Bx-|-2Cy-t-E = o,
'érifient l’équation (i 1) quelle que soit la valeur de m; donc, si
le lieu a un cenlre nniiiue, tous les diamètres passent par le centre, ef, s’il en a une infinité, tous les diamètres se confondent avec le lieu des centres.
Les deux équations qui déterminent le centre représentent deux diamètres; le premier correspond aux cordes parallèles à l’axe des x, le second aux cordes parallèles à l’axe des y.
Reuarqle IV. Dans le cas de l’ellipse et de l liyperbole, toute droite menée par le centre est un diamètre; car on peut disposer de m de manière que le coefficient m', donné par la formule (12), ait une valeur quelconque. Cependant, si la valeur obtenue pour m se réduisait à l’une des racines de Téqualion (i3), elle ne serait pas admissible, puisque les droites correspondantes ne donnent pas de diamètres; mais alors la valeur de m' est égale à celle de ni; elle correspond à l’une des asymptotes.
DIAMÈTRES CONJLGEÉS.
135 — Supposons R’ — 4^^^ différent de zéro. La relation (12) entre m et m' peut s’écrire
(i4) 2Cnim'-t-B(m-t-m')-l-2A = o.
Imaginons que l’on mène des sécantes telles que MM" parallèles au diamètre DD' (fig. 7a); soit m" le coefficient angulaire du diamètre EE', qui divise ces cordes en deux parties égales, on aura de même, entre la direction ni' des cordes et la direction m" du diamètre correspondante EE', la relation 2 Cm' m" -1- B (m' H- ni") -t- 2 A = o ; cette équation et la précédente étant du premier degré par rapport à m" et à m, on voit que l’on a m"=ni. Les deux diamètres DD', EE', dont les coefficients angulaires sont ni' et m, jouissent de cette propriété que chacun d’eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à l’autre; on les a nommés, pour celte raison, diamètres conjugués.
L’ellipse et l’hyperbole ont une infinité de systèmes de diamètres conjugués. On peut prendre pour premier diamètre une droite quelconque menée par le centre, pourvu qu’elle ne se confonde pas avec l’une des asymptotes, si la courbe est une hyperbole.
CENTRE, DIAMÈTRES ET AXES
